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Unité IV : L’Expérience, la Géométrie et les Hypothèses Physiques¶

Henri Poincaré — La Science et l’Hypothèse, Chapitre V & Pont vers les Parties III–IV (Chapitres VI, VII, IX, Flammarion 1902)

Deuxième Partie, Chapitre V : L’Expérience et la Géométrie (`[p. 92–105]`)¶

1. Dans les lignes qui précèdent, j’ai déjà à diverses reprises cherché à montrer que les principes de la géométrie ne sont pas des faits expérimentaux et qu’en particulier le postulatum d’Euclide ne saurait être démontré par l’expérience.

Quelque péremptoires que me paraissent les raisons déjà données, je crois devoir insister parce qu’il y a là une idée fausse profondément enracinée dans bien des esprits.

2. Qu’on réalise un cercle matériel, qu’on en mesure le rayon et la circonférence, et qu’on cherche à voir si le rapport de ces deux longueurs est égal à π, qu’aura-t-on fait ? On aura fait une expérience, non sur les propriétés de l’espace, mais sur celles de la matière avec laquelle on a réalisé ce rond, et de celle dont est fait le mètre qui a servi aux mesures. [p. 93]

3. La géométrie et l’astronomie. — On a également posé la question d’une autre manière. Si la géométrie de Lobatchevsky est vraie, la parallaxe d’une étoile très éloignée sera finie ; si celle de Riemann est vraie, elle sera négative. Ce sont là des résultats qui semblent accessibles à l’expérience et on a espéré que les observations astronomiques pourraient permettre de décider entre les trois géométries.

Mais ce qu’on appelle ligne droite en astronomie, c’est simplement la trajectoire du rayon lumineux. Si donc, par impossible, on venait à découvrir des parallaxes négatives, ou à démontrer que toutes les parallaxes sont supérieures à une certaine limite, on aurait le choix entre deux conclusions : nous pourrions renoncer à la géométrie euclidienne ou bien modifier les lois de l’optique et admettre que la lumière ne se propage pas rigoureusement en ligne droite.

Inutile d’ajouter que tout le monde regarderait cette solution comme plus avantageuse.

La géométrie euclidienne n’a donc rien à craindre d’expériences nouvelles.

**Fig. 8 — Parallaxe astronomique et conventionnalisme géométrique (Ch. V § 3).** Entre les stations :g:`S₁ (-3/5, -2/5) `, :g:`S₂ (3/5, -2/5) ` et :g:`S₃ (0, 3/4) ` dans :g:`Ω `, un défaut angulaire $\alpha + \beta + \gamma < \pi$ le long des trajectoires :g:`( S1 S2 ) `, :g:`( S2 S3 ) `, :g:`( S3 S1 ) ` s'interprète indifféremment comme propagation rectiligne en espace lobatchefskien ou réfraction optique en espace euclidien (cordes :g:`/ S1 S2 / `, :g:`/ S2 S3 / `, :g:`/ S3 S1 / `).

4. Peut-on soutenir que certains phénomènes, possibles dans l’espace euclidien, seraient impossibles dans l’espace non euclidien, de sorte que l’expérience, en constatant ces phénomènes, contredirait directement l’hypothèse non euclidienne ? Pour moi, une pareille question ne peut se poser. À mon sens elle équivaut tout à fait à la suivante, dont l’absurdité saute aux yeux de tous : y a-t-il [p. 94] des longueurs que l’on peut exprimer en mètres et centimètres, mais que l’on ne saurait mesurer en toises, pieds et pouces, de sorte que l’expérience, en constatant l’existence de ces longueurs, contredirait directement cette hypothèse qu’il y a des toises partagées en six pieds ?

Examinons la question de plus près. Je suppose que la ligne droite possède dans l’espace euclidien deux propriétés quelconques que j’appellerai A et B ; que dans l’espace non euclidien elle possède encore la propriété A, mais ne possède plus la propriété B ; je suppose enfin que, tant dans l’espace euclidien que dans l’espace non euclidien, la ligne droite soit la seule ligne qui possède la propriété A.

S’il en était ainsi, l’expérience pourrait être apte à décider entre l’hypothèse d’Euclide et celle de Lobatchevsky. On constaterait que tel objet concret, accessible à l’expérience, par exemple un pinceau de rayons lumineux, possède la propriété A ; on en conclurait qu’il est rectiligne et on chercherait ensuite s’il possède ou non la propriété B.

Mais il n’en est pas ainsi, il n’existe pas de propriété qui puisse, comme cette propriété A, être un critère absolu permettant de reconnaître la ligne droite et de la distinguer de toute autre ligne.

Dira-t-on par exemple : « cette propriété sera la suivante : la ligne droite est une ligne telle qu’une figure dont fait partie cette ligne ne peut se mouvoir sans que les distances mutuelles de [p. 95] ses points varient et de telle sorte que tous les points de cette ligne restent fixes ? »

Voilà en effet une propriété qui, dans l’espace euclidien ou non euclidien, appartient à la droite et n’appartient qu’à elle. Mais comment reconnaîtra-t-on par expérience si elle appartient à tel ou tel objet concret ? Il faudra mesurer des distances, et comment saura-t-on que telle grandeur concrète que j’ai mesurée avec mon instrument matériel représente bien la distance abstraite ?

On n’a fait que reculer la difficulté.

En réalité la propriété que je viens d’énoncer n’est pas une propriété de la ligne droite seule, c’est une propriété de la ligne droite et de la distance. Pour qu’elle pût servir de critère absolu, il faudrait que l’on pût établir non seulement qu’elle n’appartient pas aussi à une autre ligne que la ligne droite et à la distance, mais encore qu’elle n’appartient pas à une autre ligne que la ligne droite et à une autre grandeur que la distance. Or cela n’est pas vrai.

Il est donc impossible d’imaginer une expérience concrète qui puisse être interprétée dans le système euclidien et qui ne puisse pas l’être dans le système lobatchevskien, de sorte que je puis conclure :

Aucune expérience ne sera jamais en contradiction avec le postulatum d’Euclide ; en revanche aucune expérience ne sera jamais en contradiction avec le postulatum de Lobatchevsky.

5. Mais il ne suffit pas que la géométrie [p. 96] euclidienne (ou non euclidienne) ne puisse jamais être directement contredite par l’expérience. Ne pourrait-il pas se faire qu’elle ne puisse s’accorder avec l’expérience qu’en violant le principe de raison suffisante et celui de la relativité de l’espace ?

Je m’explique : considérons un système matériel quelconque ; nous aurons à envisager d’une part « l’état » des divers corps de ce système (par exemple leur température, leur potentiel électrique, etc.), et d’autre part leur position dans l’espace ; et parmi les données qui permettent de définir cette position, nous distinguerons encore les distances mutuelles de ces corps qui définissent leurs positions relatives, et les conditions qui définissent la position absolue du système et son orientation absolue dans l’espace.

Les lois des phénomènes qui se produiront dans ce système pourront dépendre de l’état de ces corps et de leurs distances mutuelles ; mais, à cause de la relativité et de la passivité de l’espace, elles ne dépendront pas de la position et de l’orientation absolues du système.

En d’autres termes, l’état des corps et leurs distances mutuelles à un instant quelconque dépendront seulement de l’état de ces mêmes corps et de leurs distances mutuelles à l’instant initial, mais ne dépendront nullement de la position absolue initiale du système et de son orientation absolue initiale. C’est ce que je pourrai appeler, pour abréger le langage, la loi de relativité.

J’ai parlé jusqu’ici comme un géomètre [p. 97] euclidien. Mais je l’ai dit, une expérience, quelle qu’elle soit, comporte une interprétation dans l’hypothèse euclidienne ; mais elle en comporte une également dans l’hypothèse non euclidienne. Eh bien, nous avons fait une série d’expériences, nous les avons interprétées dans l’hypothèse euclidienne, et nous avons reconnu que ces expériences ainsi interprétées ne violent pas cette « loi de relativité ».

Nous les interprétons maintenant dans l’hypothèse non euclidienne : cela est toujours possible ; seulement les distances non euclidiennes de nos différents corps dans cette interprétation nouvelle ne seront généralement pas les mêmes que les distances euclidiennes dans l’interprétation primitive.

Nos expériences, interprétées de cette manière nouvelle, seront-elles encore d’accord avec notre « loi de relativité » ? Et si cet accord n’avait pas lieu, n’aurait-on pas encore le droit de dire que l’expérience a prouvé la fausseté de la géométrie non euclidienne.

Il est aisé de voir que cette crainte est vaine ; en effet, pour qu’on puisse appliquer la loi de relativité en toute rigueur, il faut l’appliquer à l’univers entier. Car si on considérait seulement une partie de cet univers, et si la position absolue de cette partie venait à varier, les distances aux autres corps de l’univers varieraient également, leur influence sur la partie de l’univers envisagée pourrait par conséquent augmenter ou diminuer, [p. 98] ce qui pourrait modifier les lois des phénomènes qui s’y passent.

Mais si notre système est l’univers entier, l’expérience est impuissante à nous renseigner sur sa position et son orientation absolues dans l’espace. Tout ce que nos instruments, si perfectionnés qu’ils soient, pourront nous faire connaître, ce sera l’état des diverses parties de l’univers et leurs distances mutuelles.

De sorte que notre loi de relativité pourra s’énoncer ainsi :

Les lectures que nous pourrons faire sur nos instruments, à un instant quelconque, dépendront seulement des lectures que nous aurions pu faire sur ces mêmes instruments à l’instant initial.

Or un pareil énoncé est indépendant de toute interprétation des expériences. Si la loi est vraie dans l’interprétation euclidienne, elle sera vraie aussi dans l’interprétation non euclidienne.

Qu’on me permette à ce sujet une petite digression. J’ai parlé plus haut des données qui définissent la position des divers corps de système ; j’aurais dû parler également de celles qui définissent leurs vitesses ; j’aurais eu alors à distinguer la vitesse avec laquelle varient les distances mutuelles des divers corps ; et d’autre part les vitesses de translation et de rotation du système, c’est-à-dire les vitesses avec lesquelles varient sa position et son orientation absolues.

Pour que l’esprit fût pleinement satisfait, il aurait fallu que la loi de relativité pût s’énoncer ainsi : [p. 99]

L’état des corps et leurs distances mutuelles à un instant quelconque, ainsi que les vitesses avec lesquelles varient ces distances à ce même instant, dépendront seulement de l’état de ces corps et de leurs distances mutuelles à l’instant initial, ainsi que des vitesses avec lesquelles variaient ces distances à cet instant initial, mais elles ne dépendront ni de la position absolue initiale du système, ni de son orientation absolue, ni des vitesses avec lesquelles variaient cette position et cette orientation absolues à l’instant initial.

Malheureusement la loi ainsi énoncée n’est pas d’accord avec les expériences, au moins telles qu’on les interprète d’ordinaire.

Qu’un homme soit transporté sur une planète dont le ciel serait constamment couvert d’un épais rideau de nuages, de telle façon qu’on ne puisse jamais apercevoir les autres astres ; sur cette planète on vivra comme si elle était isolée dans l’espace. Cet homme pourra cependant s’apercevoir qu’elle tourne, soit en mesurant l’aplatissement (ce qu’on fait ordinairement en s’aidant d’observations astronomiques, mais ce qui pourrait se faire par des moyens purement géodésiques), soit en répétant l’expérience du pendule de Foucault. La rotation absolue de cette planète pourrait donc être mise en évidence.

Il y a là un fait qui choque le philosophe, mais que le physicien est bien forcé d’accepter.

On sait que, de ce fait, Newton a conclu à l’existence de l’espace absolu ; je ne puis en aucune [p. 100] façon adopter cette manière de voir, j’expliquerai pourquoi dans la troisième partie. Pour le moment je n’ai pas voulu aborder cette difficulté.

J’ai donc dû me résigner, dans l’énoncé de la loi de relativité, à confondre les vitesses de toutes sortes parmi les données qui définissent l’état des corps.

Quoi qu’il en soit, cette difficulté est la même pour la géométrie d’Euclide et pour celle de Lobatchevsky ; je n’ai donc pas à m’en inquiéter et je n’en ai parlé qu’incidemment.

Ce qui importe, c’est la conclusion : l’expérience ne peut décider entre Euclide et Lobatchevsky.

En résumé, de quelque façon qu’on se retourne, il est impossible de découvrir à l’empirisme géométrique un sens raisonnable.

6. Les expériences ne nous font connaître que les rapports des corps entre eux ; aucune d’elles ne porte, ni ne peut porter, sur les rapports des corps avec l’espace, ou sur les rapports mutuels des diverses parties de l’espace.

« Oui, répondez-vous à cela, une expérience unique est insuffisante, parce qu’elle ne me donne qu’une seule équation avec plusieurs inconnues ; mais quand j’aurai fait assez d’expériences, j’aurai assez d’équations pour calculer toutes mes inconnues. »

Connaître la hauteur du grand mât, cela ne suffit pas pour calculer l’âge du capitaine. Quand vous aurez mesuré tous les morceaux de bois du navire, vous aurez beaucoup d’équations, mais vous ne connaîtrez pas mieux cet âge. Toutes vos mesures ayant porté sur vos morceaux de bois ne [p. 101] peuvent rien vous révéler que ce qui concerne ces morceaux de bois. De même vos expériences, quelque nombreuses qu’elles soient, n’ayant porté que sur les rapports des corps entre eux, ne nous révéleront rien sur les rapports mutuels des diverses parties de l’espace.

7. Direz-vous que, si les expériences portent sur les corps, elles portent du moins sur les propriétés géométriques des corps ?

Et d’abord, qu’entendez-vous par propriétés géométriques des corps ? Je suppose qu’il s’agit des rapports des corps avec l’espace ; ces propriétés sont donc inaccessibles à des expériences qui ne portent que sur les rapports des corps entre eux. Cela seul suffirait pour montrer que ce n’est pas d’elles qu’il peut être question.

Commençons toutefois par nous entendre sur le sens de ce mot : propriétés géométriques des corps. Quand je dis qu’un corps se compose de plusieurs parties, je suppose que je n’énonce pas là une propriété géométrique, et cela resterait vrai, même si je convenais de donner le nom impropre de points aux parties les plus petites que j’envisage.

Quand je dis que telle partie de tel corps est en contact avec telle partie de tel autre corps, j’énonce une proposition qui concerne les rapports mutuels de ces deux corps et non pas leurs rapports avec l’espace.

Je suppose que vous m’accorderez que ce ne sont pas là des propriétés géométriques ; je suis sûr au moins que vous m’accorderez que ces [p. 102] propriétés sont indépendantes de toute connaissance de la géométrie métrique.

Cela posé, j’imagine que l’on ait un corps solide formé de huit tiges minces de fer OA, OB, OC, OD, OE, OF, OG, OH, réunies par une de leurs extrémités O. Nous aurons d’autre part un second corps solide, par exemple un morceau de bois sur lequel on remarquera trois petites taches d’encre que j’appellerai α, β, γ. Je suppose ensuite que l’on constate que l’on peut amener en contact : α β γ avec AGO (je veux dire par là α avec A, en même temps que β avec G et γ avec O), puisqu’on peut amener successivement en contact α β γ avec BGO, CGO, DGO, EGO, FGO, puis avec AHO, BHO, CHO, DHO, EHO, FHO, puis α γ successivement avec AB, BC, CD, DE, EF, FA.

Voilà des constatations que l’on peut faire sans avoir d’avance aucune notion sur la forme ou sur les propriétés métriques de l’espace. Elles ne portent nullement sur les « propriétés géométriques des corps ». Et ces constatations ne seront pas possibles si les corps sur lesquels on a expérimenté se meuvent suivant un groupe ayant même structure que le groupe lobatchevskien (je veux dire d’après les mêmes lois que les corps solides dans la géométrie de Lobatchevsky). Elles suffisent donc pour prouver que ces corps se meuvent suivant le groupe euclidien, ou tout au moins qu’ils ne se meuvent pas suivant le groupe lobatchevskien.

Qu’elles soient compatibles avec le groupe euclidien, c’est ce qu’il est aisé de voir. [p. 103]

Car on pourrait les faire si le corps α β γ était un solide invariable de notre géométrie ordinaire présentant la forme d’un triangle rectangle et si les points A B C D E F G H étaient les sommets d’un polyèdre formé de deux pyramides hexagonales régulières de notre géométrie ordinaire, ayant pour base commune A B C D E F et pour sommets l’une G et l’autre H.

Supposons maintenant qu’au lieu des constatations précédentes, on observe qu’on peut comme tout à l’heure appliquer α β γ successivement sur AGO, BGO, CGO, DGO, EGO, FGO, AHO, BHO, CHO, DHO, EHO, FHO, puis qu’on peut appliquer α β (et non plus α γ) successivement sur AB, BC, CD, DE, EF et FA.

Ce sont les constatations que l’on pourrait faire si la géométrie non euclidienne était vraie, si les corps α β γ, O A B C D E F G H étaient des solides invariables, si le premier était un triangle rectangle et le second une double pyramide hexagonale régulière de dimensions convenables.

Ces constatations nouvelles ne sont donc pas possibles si les corps se meuvent suivant le groupe euclidien ; mais elles le deviennent si l’on suppose que les corps se meuvent suivant le groupe lobatchevskien. Elles suffiraient donc (si on les faisait) pour prouver que les corps en question ne se meuvent pas suivant le groupe euclidien.

Ainsi, sans faire aucune hypothèse sur la forme, sur la nature de l’espace, sur les rapports des corps avec l’espace, sans attribuer aux corps [p. 104] aucune propriété géométrique, j’ai fait des constatations qui m’ont permis de montrer dans un cas que les corps expérimentés se meuvent suivant un groupe dont la structure est euclidienne, dans l’autre cas qu’ils se meuvent suivant un groupe dont la structure est lobatchevskienne.

Et qu’on ne dise pas que le premier ensemble de constatations constituerait une expérience prouvant que l’espace est euclidien, et le second une expérience prouvant que l’espace est non euclidien.

Et en effet on pourrait imaginer (je dis imaginer) des corps se mouvant de manière à rendre possible la seconde série de constatations. Et la preuve c’est que le premier mécanicien venu pourrait en construire, s’il voulait s’en donner la peine et y mettre le prix. Vous n’en conclurez pas pourtant que l’espace est non euclidien.

Et même, comme les corps solides ordinaires continueraient à exister quand le mécanicien aurait construit les corps étranges dont je viens de parler, il faudrait conclure que l’espace est à la fois euclidien et non euclidien.

Supposons par exemple que nous ayons une grande sphère de rayon R et que la température décroisse du centre à la surface de cette sphère suivant la loi dont j’ai parlé en décrivant le monde non euclidien.

Nous pourrions avoir des corps dont la dilatation sera négligeable et qui se comporteront comme des solides invariables ordinaires ; et [p. 105] d’autre part des corps très dilatables et qui se comporteraient comme des solides non euclidiens. Nous pourrions avoir deux doubles pyramides O A B C D E F G H et O′ A′ B′ C′ D′ E′ F′ G′ H′ et deux triangles α β γ et α′ β′ γ′. La première double pyramide serait rectiligne et la seconde curviligne ; le triangle α β γ serait fait d’une matière indilatable et l’autre d’une matière très dilatable.

On pourrait alors faire les premières constatations avec la double pyramide OAH et le triangle α β γ, et les secondes avec la double pyramide O′H′A′ et le triangle α′ β′ γ′. Et alors l’expérience semblerait prouver d’abord que la géométrie euclidienne est vraie et ensuite qu’elle est fausse.

Les expériences ont donc porté, non sur l’espace, mais sur les corps.

Supplément : Les trois dimensions et l’expérience ancestrale (`[p. 105–109]`)¶

8. Pour être complet, je devrais parler d’une question très délicate et qui demanderait de longs développements, je me bornerai à résumer ici ce que j’ai exposé dans la Revue de Métaphysique et de Moraleet dansThe Monist. Quand nous disons que l’espace a trois dimensions, que voulons-nous dire ?

Nous avons vu l’importance de ces « changements internes » qui nous sont révélés par nos sensations musculaires. Ils peuvent servir à caractériser les diverses attitudes de notre corps. [p. 106] Prenons arbitrairement pour origine une de ces attitudes A. Quand nous passons de cette attitude initiale à une autre attitude quelconque B, nous éprouvons une série S de sensations musculaires et cette série S définira B. Observons toutefois que nous regarderons souvent deux séries S et S′ comme définissant une même attitude B (puisque les attitudes initiale et finale A et B restant les mêmes, les attitudes intermédiaires et les sensations correspondantes peuvent différer). Comment donc reconnaîtrons-nous l’équivalence de ces deux séries ? Parce qu’elles peuvent servir à compenser un même changement externe, ou plus généralement parce que, quand il s’agit de compenser un changement externe, une des séries peut être remplacée par l’autre.

Parmi ces séries, nous avons distingué celles qui peuvent à elles seules compenser un changement externe et que nous avons appelées « déplacements ». Comme nous ne pouvons discerner deux déplacements qui sont trop voisins, l’ensemble de ces déplacements présente les caractères d’un continu physique ; l’expérience nous enseigne que ce sont ceux d’un continu physique à six dimensions ; mais nous ne savons pas encore combien l’espace lui-même a de dimensions, il nous faut résoudre une autre question.

Qu’est-ce qu’un point de l’espace ? Tout le monde croit le savoir, mais c’est une illusion. Ce que nous voyons, quand nous cherchons à nous représenter un point de l’espace, c’est une tache [p. 107] noire sur du papier blanc, une tache de craie sur un tableau noir, c’est toujours un objet. La question doit donc être entendue comme il suit :

Que veux-je dire quand je dis que l’objet B est au même point qu’occupait tout à l’heure l’objet A ? Ou encore quel critère me permettra de le reconnaître ?

Je veux dire que, bien que je n’aie pas bougé(ce que m’enseigne mon sens musculaire), mon premier doigt, qui tout à l’heure touchait l’objet A, touche maintenant l’objet B. J’aurais pu me servir d’autres critères, par exemple d’un autre doigt ou du sens de la vue. Mais le premier critère est suffisant ; je sais que s’il répond oui, tous les autres critères donneront la même réponse. Je le saispar expérience, je ne puis le savoirà priori. C’est aussi pour cela que je dis que le toucher ne peut s’exercer à distance, c’est une autre manière d’énoncer le même fait expérimental. Et, si je dis au contraire que la vue s’exerce à distance, cela veut dire que le critère fourni par la vue peut répondre oui, tandis que les autres répondent non.

Et en effet l’objet, bien que s’étant éloigné, peut former son image au même point de la rétine. La vue répond oui, l’objet est resté au même point, et le toucher répond non, car mon doigt qui tout à l’heure touchait l’objet, ne le touche plus maintenant. Si l’expérience nous avait montré qu’un doigt peut répondre non quand l’autre dit oui, nous dirions de même que le toucher s’exerce à distance. [p. 108]

En résumé, pour chaque attitude de mon corps, mon premier doigt détermine un point et c’est cela, et cela seulement qui définit un point de l’espace.

À chaque attitude correspond de la sorte un point ; mais il arrive souvent que le même point correspond à plusieurs attitudes différentes (c’est dans ce cas que nous disons que notre doigt n’a pas bougé, mais que le reste du corps a bougé). Nous distinguons donc parmi les changements d’attitude ceux où le doigt ne bouge pas. Comment y sommes-nous conduits ? C’est parce que souvent nous remarquons que dans ces changements l’objet qui est au contact du doigt ne quitte pas ce contact.

Rangeons donc dans une même classe toutes les attitudes qui se déduisent les unes des autres par un des changements que nous avons ainsi distingués. À toutes les attitudes d’une même classe correspondra le même point de l’espace. Donc à chaque classe correspondra un point et à chaque point une classe. Mais on peut dire que, ce que l’expérience atteint, ce n’est pas le point, c’est cette classe de changements, ou mieux la classe de sensations musculaires correspondante.

Et alors quand nous disons que l’espace a trois dimensions, nous voulons dire simplement que l’ensemble de ces classes nous apparaît avec les caractères d’un continu physique à trois dimensions.

On pourrait être tenté de conclure que c’est [p. 109] l’expérience qui nous a appris combien l’espace a de dimensions. Mais en réalité ici encore nos expériences ont porté, non sur l’espace, mais sur notre corps et ses rapports avec les objets voisins. De plus elles sont excessivement grossières.

Dans notre esprit préexistait l’idée latente d’un certain nombre de groupes ; ce sont ceux dont Lie a fait la théorie. Lequel choisirons-nous pour en faire une sorte d’étalon auquel nous comparerons les phénomènes naturels ? Et, ce groupe choisi, quel est celui de ses sous-groupes que nous prendrons pour caractériser un point de l’espace ? L’expérience nous a guidés en nous montrant quel choix s’adapte le mieux aux propriétés de notre corps. Mais son rôle s’est borné là.

L’expérience ancestrale.

On a dit souvent que si l’expérience individuelle n’a pu créer la géométrie, il n’en est pas de même de l’expérience ancestrale. Mais qu’entend-on par là ? Veut-on dire que nous ne pouvons démontrer expérimentalement le postulatum d’Euclide, mais que nos ancêtres ont pu le faire ? Pas le moins du monde. On veut dire que par sélection naturelle notre esprit s’est adaptéaux conditions du monde extérieur, qu’il a adopté la géométriela plus avantageuseà l’espèce ; ou en d’autres termesla plus commode. Cela est tout à fait conforme à nos conclusions, la géométrie n’est pas vraie, elle est avantageuse.

Troisième Partie (La Force), Chapitre VI : La Mécanique classique (`[p. 110–134]`)¶

Les Anglais enseignent la mécanique comme une science expérimentale ; sur le continent, on l’expose toujours plus ou moins comme une science déductive et à priori. Ce sont les Anglais qui ont raison, cela va sans dire ; mais comment a-t-on pu persévérer si longtemps dans d’autres errements ? Pourquoi les savants continentaux, qui ont cherché à échapper aux habitudes de leurs devanciers, n’ont-ils pas pu le plus souvent s’en affranchir complètement ?

D’autre part, si les principes de la mécanique n’ont d’autre source que l’expérience, ne sont-ils donc qu’approchés et provisoires ? Des expériences [p. 111] nouvelles ne pourront-elles un jour nous conduire à les modifier ou même à les abandonner ?

Telles sont les questions qui se posent naturellement, et la difficulté de la solution provient principalement de ce que les traités de mécanique ne distinguent pas bien nettement ce qui est expérience, ce qui est raisonnement mathématique, ce qui est convention, ce qui est hypothèse.

Ce n’est pas tout :

1o Il n’y a pas d’espace absolu et nous ne concevons que des mouvements relatifs ; cependant on énonce le plus souvent les faits mécaniques comme s’il y avait un espace absolu auquel on pourrait les rapporter ;

2o Il n’y a pas de temps absolu ; dire que deux durées sont égales, c’est une assertion qui n’a par elle-même aucun sens et qui n’en peut acquérir un que par convention ;

3o Non seulement nous n’avons pas l’intuition directe de l’égalité de deux durées, mais nous n’avons même pas celle de la simultanéité de deux événements qui se produisent sur des théâtres différents ; c’est ce que j’ai expliqué dans un article intitulé la Mesure du temps [1] ;

4o Enfin notre géométrie euclidienne n’est elle-même qu’une sorte de convention de langage ; nous pourrions énoncer les faits mécaniques en les rapportant à un espace non euclidien qui serait un repère moins commode, mais tout aussi [p. 112] légitime que notre espace ordinaire ; l’énoncé deviendrait ainsi beaucoup plus compliqué ; mais il resterait possible.

Ainsi l’espace absolu, le temps absolu, la géométrie même ne sont pas des conditions qui s’imposent à la mécanique ; toutes ces choses ne préexistent pas plus à la mécanique que la langue française ne préexiste logiquement aux vérités que l’on exprime en français.

On pourrait chercher à énoncer les lois fondamentales de la mécanique dans un langage qui serait indépendant de toutes ces conventions ; on se rendrait mieux compte ainsi sans doute de ce que ces lois sont en soi ; c’est ce que M. Andrade a tenté de faire, au moins en partie, dans ses Leçons de Mécanique physique.

L’énoncé de ces lois deviendrait bien entendu beaucoup plus compliqué, puisque toutes ces conventions ont été précisément imaginées pour abréger et simplifier cet énoncé.

Quant à moi, sauf en ce qui concerne l’espace absolu, je laisserai de côté toutes ces difficultés ; non que je les méconnaisse, loin de là ; mais nous en avons suffisamment examinées dans les deux premières parties.

J’admettrai donc provisoirement le temps absolu et la géométrie euclidienne.

Le Principe d’inertie. — Un corps qui n’est soumis à aucune force ne peut avoir qu’un mouvement rectiligne et uniforme. [p. 113]

Est-ce là une vérité qui s’impose à priori à l’esprit ? S’il en était ainsi, comment les Grecs l’auraient-ils méconnue ? Comment auraient-ils pu croire que le mouvement s’arrête dès que cesse la cause qui lui avait donné naissance ? ou bien encore que tout corps, si rien ne vient le contrarier, prendra un mouvement circulaire, le plus noble de tous les mouvements ?

Si l’on dit que la vitesse d’un corps ne peut changer, s’il n’y a pas de raison pour qu’elle change, ne pourrait-on soutenir tout aussi bien que la position de ce corps ne peut changer, ou que la courbure de sa trajectoire ne peut changer, si une cause extérieure ne vient les modifier ?

Le principe d’inertie, qui n’est pas une vérité à priori, est-il donc un fait expérimental ? Mais a-t-on jamais expérimenté sur des corps soustraits à l’action de toute force, et si on l’a fait, comment a-t-on su que ces corps n’étaient soumis à aucune force ? On cite ordinairement l’exemple d’une bille roulant un temps très long sur une table de marbre ; mais pourquoi disons-nous qu’elle n’est soumise à aucune force ? Est-ce parce qu’elle est trop éloignée de tous les autres corps pour pouvoir en éprouver aucune action sensible ? Elle n’est pas cependant plus loin de la terre que si on la lançait librement dans l’air ; et chacun sait que dans ce cas elle subirait l’influence de la pesanteur due à l’attraction de la terre.

Les professeurs de mécanique ont l’usage de passer rapidement sur l’exemple de la bille ; mais [p. 114] ils ajoutent que le principe d’inertie est vérifié indirectement par ses conséquences. Ils s’expriment mal ; ils veulent dire évidemment que l’on peut vérifier diverses conséquences d’un principe plus général, dont celui de l’inertie n’est qu’un cas particulier.

Je proposerai pour ce principe général l’énoncé suivant :

L’accélération d’un corps ne dépend que de la position de ce corps et des corps voisins et de leurs vitesses.

Les mathématiciens diraient que les mouvements de toutes les molécules matérielles de l’univers dépendent d’équations différentielles du second ordre.

Pour faire comprendre que c’est bien là la généralisation naturelle de la loi d’inertie, je demanderai qu’on me permette une fiction. La loi d’inertie, je l’ai dit plus haut, ne s’impose pas à nous à priori ; d’autres lois seraient, tout aussi bien qu’elle, compatibles avec le principe de raison suffisante. Si un corps n’est soumis à aucune force, au lieu de supposer que sa vitesse ne change pas, on pourrait supposer que c’est sa position, ou encore son accélération qui ne doit pas changer.

Eh bien, imaginons pour un instant que l’une de ces deux lois hypothétiques soit celle de la nature et remplace notre loi d’inertie. Quelle en serait la généralisation naturelle ? Une minute de réflexion nous le fera voir.

Dans le premier cas, on devrait supposer que [p. 115] la vitesse d’un corps ne dépend que de sa position et de celle des corps voisins ; dans le second cas, que la variation de l’accélération d’un corps ne dépend que de la position de ce corps et des corps voisins, de leurs vitesses et de leurs accélérations.

Ou bien, pour parler le langage mathématique, les équations différentielles du mouvement seraient du premier ordre dans le premier cas, et du troisième ordre dans le deuxième cas.

Modifions un peu notre fiction. Je suppose un monde analogue à notre système solaire, mais où, par un singulier hasard, les orbites de toutes les planètes soient sans excentricité et sans inclinaison. Je suppose de plus que les masses de ces planètes soient trop faibles pour que leurs perturbations mutuelles soient sensibles. Les astronomes qui habiteraient l’une de ces planètes ne manqueraient pas de conclure que l’orbite d’un astre ne peut être que circulaire et parallèle à un certain plan ; la position d’un astre à un instant donné suffirait alors pour déterminer sa vitesse et toute sa trajectoire. La loi d’inertie qu’ils adopteraient serait la première des deux lois hypothétiques dont je viens de parler.

Imaginons maintenant que ce système vienne un jour à être traversé avec une grande vitesse par un corps de grande masse, venu de constellations lointaines. Toutes les orbites seront profondément troublées. Nos astronomes ne seraient pas encore trop étonnés ; ils devineraient bien que cet astre nouveau est seul coupable de tout le mal. [p. 116] Mais, diraient-ils, quand il se sera éloigné, l’ordre se rétablira de lui-même ; sans aucun doute les distances des planètes au soleil ne redeviendront pas ce qu’elles étaient avant le cataclysme, mais quand l’astre perturbateur ne sera plus là, les orbites redeviendront circulaires.

Ce serait seulement quand le corps troublant serait loin et quand cependant les orbites, au lieu de redevenir circulaires, deviendraient elliptiques, ce serait alors seulement que ces astronomes s’apercevraient de leur erreur et de la nécessité de refaire toute leur mécanique.

J’ai un peu insisté sur ces hypothèses ; car il me semble qu’on ne peut bien comprendre ce que c’est que notre loi d’inertie généralisée, qu’en l’opposant à une hypothèse contraire.

Eh bien maintenant, cette loi d’inertie généralisée, a-t-elle été vérifiée par l’expérience et peut-elle l’être ? Quand Newton a écrit les Principes, il regardait bien cette vérité comme acquise et démontrée expérimentalement. Elle l’était à ses yeux, non seulement par l’idole anthropomorphique dont nous reparlerons, mais par les travaux de Galilée. Elle l’était aussi par les lois de Képler elles-mêmes ; d’après ces lois, en effet, la trajectoire d’une planète est entièrement déterminée par sa position et par sa vitesse initiales ; c’est bien là ce qu’exige notre principe d’inertie généralisé.

Pour que ce principe ne fût vrai qu’en apparence, pour qu’on pût craindre d’avoir un jour à [p. 117] le remplacer par un des principes analogues que je lui opposais tout à l’heure, il faudrait que nous eussions été trompés par quelque surprenant hasard, comme celui qui, dans la fiction que je développais plus haut, avait induit en erreur nos astronomes imaginaires.

Une pareille hypothèse est trop invraisemblable pour que l’on s’y arrête. Personne ne croira qu’il puisse y avoir de tels hasards ; sans doute la probabilité pour que deux excentricités soient précisément toutes deux nulles, aux erreurs près d’observation, n’est pas plus petite que la probabilité pour que l’une soit précisément égale à 0,1 par exemple et l’autre à 0,2 aux erreurs près d’observation. La probabilité d’un événement simple n’est pas plus petite que celle d’un événement compliqué ; et pourtant si le premier se produit, nous ne voudrons pas croire que la nature ait fait exprès de nous tromper. L’hypothèse d’une erreur de ce genre étant écartée, on peut donc admettre qu’en ce qui concerne l’astronomie, notre loi a été vérifiée par l’expérience.

Mais l’astronomie n’est pas la physique tout entière.

Ne pourrait-on craindre que quelque expérience nouvelle ne vînt un jour mettre la loi en défaut dans quelque canton de la Physique ? Une loi expérimentale est toujours soumise à la révision ; on doit toujours s’attendre à la voir remplacée par une autre loi plus précise.

Personne cependant ne redoute sérieusement [p. 118] que celle dont nous parlons doive être jamais abandonnée ou amendée. Pourquoi ? Précisément parce qu’on ne pourra jamais la soumettre à une épreuve décisive.

Tout d’abord, pour que cette épreuve fût complète, il faudrait qu’après un certain temps tous les corps de l’univers reviennent à leurs positions initiales avec leurs vitesses initiales. On verrait alors si, à partir de ce moment, ils reprennent les trajectoires qu’ils ont déjà suivies une fois.

Mais cette épreuve est impossible, on ne peut la faire que partiellement, et, si bien qu’on la fasse, il y aura toujours quelques corps qui ne reviendront pas à leur position initiale ; ainsi toute dérogation à la loi trouvera facilement son explication.

Ce n’est pas tout : en Astronomie, nous voyons les corps dont nous étudions les mouvements, et nous admettons le plus souvent qu’ils ne subissent pas l’action d’autres corps invisibles. Dans ces conditions, il faut bien que notre loi se vérifie ou ne se vérifie pas.

Mais en Physique, il n’en est pas de même : si les phénomènes physiques sont dus à des mouvements, c’est aux mouvements de molécules que nous ne voyons pas. Si alors l’accélération d’un des corps que nous voyons nous paraît dépendre d’autre choseque des positions ou des vitesses des autres corps visibles ou des molécules invisibles dont nous avons été amenés antérieurement à admettre l’existence, rien ne nous empêchera de [p. 119] supposer que cetteautre chose est la position ou la vitesse d’autres molécules dont nous n’avions pas jusque-là soupçonné la présence. La loi se trouvera sauvegardée.

Qu’on me permette d’employer un instant le langage mathématique pour exprimer la même pensée sous une autre forme. Je suppose que nous observions nmolécules et que nous constations que leurs 3ncoordonnées satisfont à un système de 3néquations différentielles du quatrième ordre (et non du deuxième ordre, comme l’exigerait la loi d’inertie). Nous savons qu’en introduisant 3nvariables auxiliaires, un système de 3néquations du quatrième ordre peut être ramené à un système de 6néquations de deuxième ordre. Si alors nous supposons que ces 3nvariables auxiliaires représentent les coordonnées den molécules invisibles, le résultat est de nouveau conforme à la loi d’inertie.

En résumé, cette loi, vérifiée expérimentalement dans quelques cas particuliers, peut être étendue sans crainte aux cas les plus généraux, parce que nous savons que dans ces cas généraux l’expérience ne peut plus ni la confirmer, ni la contredire.

La loi de l’accélération. — L’accélération d’un corps est égale à la force qui agit sur lui divisée par sa masse.

Cette loi peut-elle être vérifiée par l’expérience ? Pour cela, il faudrait mesurer les trois grandeurs qui figurent dans l’énoncé : accélération, force et masse. [p. 120]

J’admets qu’on puisse mesurer l’accélération, parce que je passe sur la difficulté provenant de la mesure du temps. Mais comment mesurer la force, ou la masse ? Nous ne savons même pas ce que c’est.

Qu’est-ce que la masse ? C’est, répond Newton, le produit du volume par la densité. — Il vaudrait mieux dire, répondent Thomson et Tait, que la densité est le quotient de la masse par le volume.

— Qu’est-ce que la force? C’est, répond Lagrange, une cause qui produit le mouvement d’un corps ou qui tend à le reproduire. — C’est, dira Kirchhoff, le produit de la masse par l’accélération. Mais alors, pourquoi ne pas dire que la masse est le quotient de la force par l’accélération ?

Ces difficultés sont inextricables.

Quand on dit que la force est la cause d’un mouvement, on fait de la métaphysique, et cette définition, si on devait s’en contenter, serait absolument stérile. Pour qu’une définition puisse servir à quelque chose, il faut qu’elle nous apprenne à mesurerla force ; cela suffit d’ailleurs, il n’est nullement nécessaire qu’elle nous apprenne ce que c’est que la forceen soi, ni si elle est la cause ou l’effet du mouvement.

Il faut donc définir d’abord l’égalité de deux forces. Quand dira-t-on que deux forces sont égales ? C’est, répondra-t-on, quand, appliquées à une même masse, elles lui impriment une même accélération, ou quand, opposées directement l’une à l’autre, elles se font équilibre. Cette définition [p. 121] n’est qu’un trompe-l’œil. On ne peut pas décrocher une force appliquée à un corps pour l’accrocher à un autre corps, comme on décroche une locomotive pour l’atteler à un autre train. Il est donc impossible de savoir quelle accélération telle force, appliquée à tel corps, imprimerait à tel autre corps, sielle lui était appliquée. Il est impossible de savoir comment se comporteraient deux forces qui ne sont pas directement opposées,si elles étaient directement opposées.

C’est cette définition que l’on cherche à matérialiser, pour ainsi dire, quand on mesure une force avec un dynamomètre, ou en l’équilibrant par un poids. Deux forces F et F′, que je supposerai verticales et dirigées de bas en haut pour simplifier, sont respectivement appliquées à deux corps C et C′ ; je suspends un même corps pesant P d’abord au corps C, puis au corps C′ ; si l’équilibre a lieu dans les deux cas, je conclurai que les deux forces F et F′ sont égales entre elles, puisqu’elles sont égales toutes deux au poids du corps P.

Mais suis-je sûr que le corps P a conservé le même poids quand je l’ai transporté du premier corps au second ? Loin de là, je suis sûr du contraire ; je sais que l’intensité de la pesanteur varie d’un point à un autre, et qu’elle est plus forte, par exemple, au pôle qu’à l’équateur. Sans doute la différence est très faible et, dans la pratique, je n’en tiendrai pas compte, mais une définition bien faite devrait avoir une rigueur mathématique ; [p. 122] cette rigueur n’existe pas. Ce que je dis du poids s’appliquerait évidemment à la force du ressort d’un dynamomètre, que la température et une foule de circonstances peuvent faire varier.

Ce n’est pas tout : on ne peut pas dire que le poids du corps P soit appliqué au corps C et équilibre directement la force F. Ce qui est appliqué au corps C, c’est l’action A du corps P sur le corps C ; le corps P est soumis de son côté, d’une part à son poids, d’autre part à la réaction R du corps C sur P. En définitive, la force F est égale à la force A, parce qu’elle lui fait équilibre ; la force A est égale à R, en vertu du principe de l’égalité de l’action et de la réaction ; enfin, la force R est égale au poids de P, parce qu’elle lui fait équilibre. C’est de ces trois égalités que nous déduisons comme conséquence l’égalité de F et du poids de P.

Nous sommes donc obligés de faire intervenir dans la définition de l’égalité de deux forces, le principe même de l’égalité de l’action et de la réaction ; à ce compte, ce principe ne devrait plus être regardé comme une loi expérimentale, mais comme une définition.

Nous voici donc, pour reconnaître l’égalité de deux forces, en possession de deux règles : égalité de deux forces qui se font équilibre ; égalité de l’action et de la réaction. Mais, nous l’avons vu plus haut, ces deux règles sont insuffisantes ; nous sommes obligés de recourir à une troisième règle et d’admettre que certaines forces comme, par [p. 123] exemple, le poids d’un corps, sont constantes en grandeur et en direction. Mais cette troisième règle, je l’ai dit, est une loi expérimentale ; elle n’est qu’approximativement vraie ; elle est une mauvaise définition.

Nous sommes donc ramenés à la définition de Kirchhoff : la force est égale à la masse multipliée par l’accélération. Cette « loi de Newton » cesse à son tour d’être regardée comme une loi expérimentale, elle n’est plus qu’une définition. Mais cette définition est encore insuffisante, puisque nous ne savons pas ce que c’est que la masse. Elle nous permet sans doute de calculer le rapport de deux forces appliquées à un même corps à des instants différents ; elle ne nous apprend rien sur le rapport de deux forces appliquées à deux corps différents.

Pour la compléter, il faut de nouveau recourir à la troisième loi de Newton (égalité de l’action et de la réaction), regardée encore, non comme une loi expérimentale, mais comme une définition. Deux corps A et B agissent l’un sur l’autre ; l’accélération de A multipliée par la masse de A est égale à l’action de B sur A ; de même, le produit de l’accélération de B par sa masse est égal à la réaction de A sur B. Comme, par définition, l’action est égale à la réaction, les masses de A et de B sont en raison inverse des accélérations de ces deux corps. Voilà le rapport de ces deux masses défini et c’est à l’expérience à vérifier que ce rapport est constant. [p. 124]

Cela serait très bien si les deux corps A et B étaient seuls en présence et soustraits à l’action du reste du monde. Il n’en est rien ; l’accélération de A n’est pas due seulement à l’action de B, mais à celle d’une foule d’autres corps C, D… Pour appliquer la règle précédente, il faut donc décomposer l’accélération de A en plusieurs composantes, et discerner quelle est celle de ces composantes qui est due à l’action de B.

Cette décomposition serait encore possible, si nous admettionsque l’action de C sur A s’ajoute simplement à celle de B sur A, sans que la présence du corps C modifie l’action de B sur A, ou que la présence de B modifie l’action de C sur A ; si nous admettions, par conséquent, que deux corps quelconques s’attirent, que leur action mutuelle est dirigée suivant la droite qui les joint et ne dépend que de leur distance ; si nous admettions, en un mot, l’hypothèse des forces centrales.

On sait que, pour déterminer les masses des corps célestes, on se sert d’un principe tout différent. La loi de la gravitation nous apprend que l’attraction de deux corps est proportionnelle à leurs masses ; si rest leur distance,metm′ leurs masses,k une constante, leur attraction sera

kmm′r2.

Ce qu’on mesure alors, ce n’est pas la masse, rapport de la force à l’accélération, c’est la masse [p. 125] attirante ; ce n’est pas l’inertie du corps, c’est son pouvoir attirant.

C’est là un procédé indirect, dont l’emploi n’est pas théoriquement indispensable. Il aurait très bien pu se faire que l’attraction fût inversement proportionnelle au carré de la distance, sans être proportionnelle au produit des masses, qu’elle fût égale à :

fr2,

mais sans que l’on eût :

f=kmm′.

S’il en était ainsi, on pourrait néanmoins, par l’observation des mouvements relatifs des corps célestes mesurer les masses de ces corps.

Mais avons-nous le droit d’admettre l’hypothèse des forces centrales ? Cette hypothèse est-elle rigoureusement exacte ? Est-il certain qu’elle ne sera jamais contredite par l’expérience ? Qui oserait l’affirmer ? Et si nous devons abandonner cette hypothèse, tout l’édifice si laborieusement élevé s’écroulera.

Nous n’avons plus le droit de parler de la composante de l’accélération de A qui est due à l’action de B. Nous n’avons aucun moyen de la discerner de celle qui est due à l’action de C ou d’un autre corps. La règle pour la mesure des masses devient inapplicable.

Que reste-t-il alors du principe de l’égalité de [p. 126] l’action et de la réaction ? Si l’hypothèse des forces centrales est rejetée, ce principe doit évidemment s’énoncer ainsi : la résultante géométrique de toutes les forces appliquées aux divers corps d’un système soustrait à toute action extérieure, sera nulle. Ou, en d’autres termes, le mouvement du centre de gravité de ce système sera rectiligne et uniforme.

Voilà, semble-t-il, un moyen de définir la masse ; la position du centre de gravité dépend évidemment des valeurs attribuées aux masses ; il faudra disposer de ces valeurs de façon que le mouvement de ce centre de gravité soit rectiligne et uniforme ; cela sera toujours possible si la troisième loi de Newton est vraie, et cela ne sera possible en général que d’une seule manière.

Mais il n’existe pas de système soustrait à toute action extérieure ; toutes les parties de l’univers subissent plus ou moins fortement l’action de toutes les autres parties. La loi du mouvement du centre de gravité n’est rigoureusement vraie que si on l’applique à l’univers tout entier.

Mais alors il faudrait, pour en tirer les valeurs des masses, observer le mouvement du centre de gravité de l’Univers. L’absurdité de cette conséquence est manifeste ; nous ne connaissons que des mouvements relatifs ; le mouvement du centre de gravité de l’univers restera pour nous une éternelle inconnue.

Il ne reste donc rien et nos efforts ont été infructueux ; nous sommes acculés à la définition [p. 127] suivante, qui n’est qu’un aveu d’impuissance : les masses sont des coefficients qu’il est commode d’introduire dans les calculs.

Nous pourrions refaire toute la mécanique en attribuant à toutes les masses des valeurs différentes. Cette mécanique nouvelle ne serait en contradiction ni avec l’expérience, ni avec les principes généraux de la dynamique (principe de l’inertie, proportionnalité des forces aux masses et aux accélérations, égalité de l’action et de la réaction, mouvement rectiligne et uniforme du centre de gravité, principe des aires).

Seulement les équations de cette mécanique nouvelle seraient moins simples. Entendons-nous bien : ce seraient seulement les premiers termes qui seraient moins simples, c’est-à-dire ceux que l’expérience nous a déjà fait connaître ; peut-être pourrait-on altérer les masses de petites quantités sans que les équationscomplètes gagnent ou perdent en simplicité.

Hertz s’est demandé si les principes de la mécanique sont rigoureusement vrais. « Dans l’opinion de beaucoup de physiciens, dit-il, il apparaîtra comme inconcevable que l’expérience la plus éloignée puisse jamais changer quelque chose aux inébranlables principes de la mécanique ; et cependant ce qui sort de l’expérience peut toujours être rectifié par l’expérience. »

Après ce que nous venons de dire, ces craintes paraîtront superflues. Les principes de la dynamique nous apparaissaient d’abord comme des [p. 128] vérités expérimentales ; mais nous avons été obligés de nous en servir comme définitions. C’est par définition que la force est égale au produit de la masse par l’accélération ; voilà un principe qui est désormais placé hors de l’atteinte d’aucune expérience ultérieure. C’est de même par définition que l’action est égale à la réaction.

Mais alors, dira-t-on, ces principes invérifiables sont absolument vides de toute signification ; l’expérience ne peut les contredire ; mais ils ne peuvent rien nous apprendre d’utile ; à quoi bon alors étudier la dynamique ?

Cette condamnation trop rapide serait injuste. Il n’y a pas, dans la nature, de système parfaitementisolé, parfaitement soustrait à toute action extérieure ; mais il y a des systèmesà peu près isolés.

Si l’on observe un pareil système, on peut étudier non seulement le mouvement relatif de ses diverses parties l’une par rapport à l’autre, mais le mouvement de son centre de gravité par rapport aux autres parties de l’univers. On constate alors que le mouvement de ce centre de gravité est à peu près rectiligne et uniforme, conformément à la troisième loi de Newton.

C’est là une vérité expérimentale, mais elle ne pourra être infirmée par l’expérience ; que nous apprendrait en effet une expérience plus précise ? Elle nous apprendrait que la loi n’était qu’à peu près vraie ; mais, cela, nous le savions déjà.

On s’explique maintenant comment l’expérience a[p. 129]pu servir de base aux principes de la mécanique et cependant ne pourra jamais les contredire.

La Mécanique anthropomorphique. — Kirchhoff, dira-t-on, n’a fait qu’obéir à la tendance générale des mathématiciens au nominalisme ; son habileté de physicien ne l’en a pas préservé. Il a tenu à avoir une définition de la force, et il a pris pour cela la première proposition venue ; mais une définition de la force, nous n’en avons pas besoin : l’idée de force est une notion primitive, irréductible, indéfinissable ; nous savons tous ce que c’est, nous en avons l’intuition directe. Cette intuition directe provient de la notion d’effort, qui nous est familière depuis l’enfance.

Mais d’abord, quand même cette intuition directe nous ferait connaître la véritable nature de la force en soi, elle serait insuffisante pour fonder la Mécanique ; elle serait d’ailleurs tout à fait inutile. Ce qui importe, ce n’est pas de savoir ce que c’est que la force, c’est de savoir la mesurer.

Tout ce qui ne nous apprend pas à la mesurer est aussi inutile au mécanicien, que l’est, par exemple, la notion subjective de chaud et de froid au physicien qui étudie la chaleur. Cette notion subjective ne peut se traduire en nombres, donc elle ne sert à rien ; un savant dont la peau serait absolument mauvaise conductrice de la chaleur et qui, par conséquent, n’aurait jamais éprouvé, ni sensations de froid, ni sensations de chaud, pourrait regarder un thermomètre tout aussi bien qu’un [p. 130] autre, et cela lui suffirait pour construire toute la théorie de la chaleur.

Or cette notion immédiate d’effort ne peut nous servir à mesurer la force ; il est clair, par exemple, que j’éprouverai plus de fatigue en soulevant un poids de cinquante kilos qu’un homme habitué à porter des fardeaux.

Mais il y a plus : cette notion d’effort ne nous fait pas connaître la véritable nature de la force ; elle se réduit en définitive à un souvenir de sensations musculaires, et on ne soutiendra pas que le soleil éprouve une sensation musculaire quand il attire la terre.

Tout ce qu’on peut y chercher, c’est un symbole, moins précis et moins commode que les flèches dont se servent les géomètres, mais tout aussi éloigné de la réalité.

L’anthropomorphisme a joué un rôle historique considérable dans la genèse de la mécanique ; peut-être fournira-t-il encore quelquefois un symbole qui paraîtra commode à quelques esprits ; mais il ne peut rien fonder qui ait un caractère vraiment scientifique, ou un caractère vraiment philosophique.

« L’École du Fil. » — M. Andrade, dans ses Leçons de Mécanique physique, a rajeuni la mécanique anthropomorphique. À l’école de mécaniciens dont fait partie Kirchhoff, il oppose ce qu’il appelle assez bizarrement l’école du fil.

Cette école cherche à tout ramener à « la [p. 131] considération de certains systèmes matériels de masse négligeable, envisagés à l’état de tension et capables de transmettre des efforts considérables à des corps éloignés, système dont le type idéal est le fil. »

Un fil qui transmet une force quelconque, s’allonge légèrement sous l’action de cette force ; la direction du fil nous fait connaître la direction de la force, dont la grandeur est mesurée par l’allongement du fil.

On peut alors concevoir une expérience telle que celle-ci. Un corps A est attaché à un fil ; à l’autre extrémité du fil on fait agir une force quelconque que l’on fait varier jusqu’à ce que le fil prenne un allongement a, on note l’accélération du corps A ; on détache A et on attache le corps B au même fil, on fait agir de nouveau la force, ou une autre force, et on la fait varier jusqu’à ce que le fil reprenne l’allongementa ; on note l’accélération du corps B. On recommence l’expérience tant avec le corps A qu’avec le corps B, mais de façon que le fil prenne l’allongement β. Les quatre accélérations observées doivent être proportionnelles. On a ainsi une vérification expérimentale de la loi d’accélération énoncée plus haut.

Ou bien encore on soumet un corps à l’action simultanée de plusieurs fils identiques également tendus, et on cherche par l’expérience quelles doivent être les orientations de tous ces fils pour que le corps demeure en équilibre. On a alors une vérification expérimentale de la règle de la composition des forces. [p. 132]

Mais, en somme, qu’avons-nous fait ? Nous avons défini la force à laquelle le fil est soumis par la déformation subie par ce fil, ce qui est assez raisonnable ; nous avons admis ensuite que si un corps est attaché à ce fil, l’effort qui lui est transmis par le fil est égal à l’action que ce corps exerce sur ce fil ; en définitive, nous nous sommes servis du principe de l’égalité de l’action et de la réaction, en le considérant, non comme une vérité d’expérience, mais comme la définition même de la force.

Cette définition est tout aussi conventionnelle que celle de Kirchhoff, mais elle est beaucoup moins générale.

Toutes les forces ne sont pas transmises par des fils (encore faudrait-il pour qu’on pût les comparer qu’elles le fussent toutes par des fils identiques). Si l’on admettait même que la terre est attachée au soleil par quelque fil invisible, du moins conviendrait-on que nous n’avons aucun moyen d’en mesurer l’allongement.

Neuf fois sur dix, par conséquent, notre définition serait en défaut ; on ne pourrait lui attribuer aucune espèce de sens, et il faudrait en revenir à celle de Kirchhoff.

Pourquoi alors prendre ce détour ? Vous admettez une certaine définition de la force qui n’a de sens que dans certains cas particuliers. Dans ces cas vous vérifiez par l’expérience qu’elle conduit à la loi de l’accélération. Autorisés par cette expérience, vous prenez ensuite la loi de l’accélération comme définition de la force dans tous les autres cas. [p. 133]

Ne serait-il pas plus simple de considérer la loi de l’accélération comme une définition dans tous les cas, et de regarder les expériences en question, non comme des vérifications de cette loi, mais comme des vérifications du principe de réaction, ou comme démontrant que les déformations d’un corps élastique ne dépendent que des forces auxquelles ce corps est soumis ?

Sans compter que les conditions dans lesquelles votre définition pourrait être acceptée ne sont jamais remplies qu’imparfaitement, qu’un fil n’est jamais sans masse, qu’il n’est jamais soustrait à toute autre force que la réaction des corps attachés à ses extrémités.

Les idées de M. Andrade n’en sont pas moins très intéressantes ; si elles ne satisfont pas notre besoin de logique, elles nous font mieux comprendre la genèse historique des notions mécaniques fondamentales. Les réflexions qu’elles nous suggèrent nous montrent comment l’esprit humain s’est élevé d’un anthropomorphisme naïf aux conceptions actuelles de la science.

Nous voyons au point de départ une expérience très particulière et en somme assez grossière ; au point d’arrivée, une loi tout à fait générale, tout à fait précise, et dont nous regardons la certitude comme absolue. Cette certitude, c’est nous qui la lui avons conférée pour ainsi dire librement, en la regardant comme une convention.

La loi de l’accélération, la règle de la composition des forces ne sont-elles donc que des [p. 134] conventions arbitraires ? Conventions, oui ; arbitraires, non ; elles le seraient si on perdait de vue les expériences qui ont conduit les fondateurs de la science à les adopter, et qui, si imparfaites qu’elles soient, suffisent pour les justifier. Il est bon que, de temps en temps, on ramène notre attention sur l’origine expérimentale de ces conventions.

Witness Footnotes

Troisième Partie (La Force), Chapitre VII : Le Mouvement relatif et le Mouvement absolu (`[p. 135–147]`)¶

Le principe du mouvement relatif. — On a quelquefois cherché à rattacher la loi de l’accélération à un principe plus général. Le mouvement d’un système quelconque doit obéir aux mêmes lois, qu’on le rapporte à des axes fixes, ou à des axes mobiles entraînés dans un mouvement rectiligne et uniforme. C’est là le principe du mouvement relatif, qui s’impose à nous pour deux raisons : d’abord, l’expérience la plus vulgaire le confirme, et ensuite l’hypothèse contraire répugnerait singulièrement à l’esprit.

Admettons-le donc, et considérons un corps soumis à une force ; le mouvement relatif de ce corps, par rapport à un observateur animé d’une vitesse uniforme égale à la vitesse initiale du corps, devra être identique à ce que serait son mouvement absolu s’il partait du repos. On en conclut que son accélération ne doit pas dépendre de sa [p. 136] vitesse absolue, on a même cherché à tirer de là une démonstration de la loi d’accélération.

Il y a eu longtemps des traces de cette démonstration dans les programmes du baccalauréat ès sciences. Il est évident que cette tentative est vaine. L’obstacle qui nous empêchait de démontrer la loi d’accélération, c’est que nous n’avions pas de définition de la force ; cet obstacle subsiste tout entier, puisque le principe invoqué ne nous a pas fourni la définition qui nous manquait.

Le principe du mouvement relatif n’en est pas moins fort intéressant et mérite d’être étudié pour lui-même. Cherchons d’abord à l’énoncer d’une façon précise.

Nous avons dit plus haut que les accélérations des différents corps qui font partie d’un système isolé ne dépendent que de leurs vitesses et de leurs positions relatives, et non de leurs vitesses et de leurs positions absolues, pourvu que les axes mobiles auxquels le mouvement relatif est rapporté soient entraînés dans un mouvement rectiligne et uniforme. Ou, si l’on aime mieux, leurs accélérations ne dépendent que des différences de leurs vitesses et des différences de leurs coordonnées, et non des valeurs absolues de ces vitesses et de ces coordonnées.

Si ce principe est vrai pour les accélérations relatives, ou mieux pour les différences d’accélération, en le combinant avec la loi de la réaction, on en déduira qu’il est vrai encore pour les accélérations absolues. [p. 137]

Il reste donc à voir comment on peut démontrer que les différences des accélérations ne dépendent que des différences des vitesses et des coordonnées, ou, pour parler le langage mathématique, que ces différences de coordonnées satisfont à des équations différentielles du second ordre.

Cette démonstration peut-elle être déduite d’expériences ou de considérations à priori ?

En se rappelant ce que nous avons dit plus haut, le lecteur fera de lui-même la réponse.

Ainsi énoncé, en effet, le principe du mouvement relatif ressemble singulièrement à ce que j’appelais plus haut le principe de l’inertie généralisé ; ce n’est pas tout à fait la même chose, puisqu’il s’agit des différences de coordonnées et non des coordonnées elles-mêmes. Le nouveau principe nous apprend donc quelque chose de plus que l’ancien, mais la même discussion s’y applique et conduirait aux mêmes conclusions ; il est inutile d’y revenir.

L’Argument de Newton. — Ici, nous rencontrons une question fort importante et même un peu troublante. J’ai dit que le principe du mouvement relatif n’était pas seulement pour nous un résultat d’expérience, et qu’à priori toute hypothèse contraire répugnerait à l’esprit.

Mais alors, pourquoi le principe n’est-il vrai que si le mouvement des axes mobiles est rectiligne et uniforme ? Il semble qu’il devrait s’imposer à nous avec la même force, si ce mouvement est varié ou tout au moins s’il se réduit à une [p. 138] rotation uniforme. Or, dans ces deux cas, le principe n’est pas vrai.

Je n’insisterai pas longtemps sur le cas où le mouvement des axes est rectiligne sans être uniforme ; le paradoxe ne résiste pas à un instant d’examen. Si je suis en wagon, et si le train, heurtant un obstacle quelconque, s’arrête brusquement, je serai projeté sur la banquette opposée, bien que je n’aie été soumis directement à aucune force. Il n’y a rien là de mystérieux ; si je n’ai subi l’action d’aucune force extérieure, le train, lui, a éprouvé un choc extérieur. Que le mouvement relatif de deux corps se trouve troublé, dès que le mouvement de l’un ou de l’autre est modifié par une cause extérieure, il ne peut rien y avoir là de paradoxal.

Je m’arrêterai plus longtemps sur le cas des mouvements relatifs rapportés à des axes qui tournent d’une rotation uniforme. Si le ciel était sans cesse couvert de nuages, si nous n’avions aucun moyen d’observer les astres, nous pourrions, néanmoins, conclure que la terre tourne ; nous en serions avertis par son aplatissement, ou bien encore par l’expérience du pendule de Foucault.

Et pourtant, dans ce cas, dire que la terre tourne, cela aurait-il un sens ? S’il n’y a pas d’espace absolu, peut-on tourner sans tourner par rapport à quelque chose, et d’autre part comment pourrions-nous admettre la conclusion de Newton et croire à l’espace absolu ? [p. 139]

Mais il ne suffit pas de constater que toutes les solutions possibles nous choquent également ; il faut analyser, pour chacune d’elles, les raisons de notre répugnance, afin de faire notre choix en connaissance de cause. On excusera donc la longue discussion qui va suivre.

Reprenons notre fiction : d’épais nuages cachent les astres aux hommes, qui ne peuvent les observer et en ignorent même l’existence ; comment ces hommes sauront-ils que la terre tourne ? Plus encore que nos ancêtres sans doute, ils regarderont le sol qui les porte comme fixe et inébranlable ; ils attendront bien plus longtemps l’avènement d’un Copernic. Mais enfin ce Copernic finirait par venir ; comment viendrait-il ?

Les mécaniciens de ce monde ne se heurteraient pas d’abord à une contradiction absolue. Dans la théorie du mouvement relatif, on envisage, en dehors des forces réelles, deux forces fictives que l’on appelle la force centrifuge ordinaire et la force centrifuge composée. Nos savants imaginaires pourraient donc tout expliquer en regardant ces deux forces comme réelles, et ils ne verraient pas là de contradiction avec le principe de l’inertie généralisé, car ces forces dépendraient, l’une des positions relatives des diverses parties du système, comme les attractions réelles, l’autre de leurs vitesses relatives, comme les frottements réels.

Bien des difficultés cependant ne tarderaient pas à éveiller leur attention ; s’ils réussissaient à réaliser un système isolé, le centre de gravité de ce [p. 140] système n’aurait pas une trajectoire à peu près rectiligne. Ils pourraient invoquer, pour expliquer ce fait, les forces centrifuges qu’ils regarderaient comme réelles et qu’ils attribueraient sans doute aux actions mutuelles des corps. Seulement ils ne verraient pas ces forces s’annuler aux grandes distances, c’est-à-dire à mesure que l’isolement serait mieux réalisé ; loin de là : la force centrifuge croît indéfiniment avec la distance.

Cette difficulté leur semblerait déjà assez grande ; et pourtant elle ne les arrêterait pas longtemps : ils imagineraient bientôt quelque milieu très subtil, analogue à notre éther, où tous les corps baigneraient et qui exerceraient sur eux une action répulsive.

Mais ce n’est pas tout. L’espace est symétrique, et pourtant les lois du mouvement ne présenteraient pas de symétrie ; elles devraient distinguer entre la droite et la gauche. On verrait par exemple que les cyclones tournent toujours dans le même sens, tandis que par raison de symétrie ces météores devraient tourner indifféremment dans un sens et dans l’autre. Si nos savants étaient parvenus à force de travail à rendre leur univers parfaitement symétrique, cette symétrie ne subsisterait pas, bien qu’il n’y ait aucune raison apparente pour qu’elle soit troublée dans un sens plutôt que dans l’autre.

Ils s’en tireraient sans aucun doute, ils inventeraient quelque chose qui ne serait pas plus extraordinaire que les sphères de verre de Ptolémée, et [p. 141] on irait ainsi, accumulant les complications, jusqu’à ce que le Copernic attendu les balaye toutes d’un seul coup, en disant : Il est bien plus simple d’admettre que la terre tourne.

Et de même que notre Copernic à nous nous a dit : il est plus commode de supposer que la terre tourne, parce qu’on exprime ainsi les lois de l’astronomie dans un langage bien plus simple ; celui-là dirait : Il est plus commode de supposer que la terre tourne, parce qu’on exprime ainsi les lois de la mécanique dans un langage bien plus simple.

Cela n’empêche pas que l’espace absolu, c’est-à-dire le repère auquel il faudrait rapporter la terre pour savoir si réellement elle tourne, n’a aucune existence objective. Dès lors, cette affirmation : « la terre tourne », n’a aucun sens, puisqu’aucune expérience ne permettra de la vérifier ; puisqu’une telle expérience, non seulement ne pourrait être ni réalisée, ni rêvée par le Jules Verne le plus hardi, mais ne peut être conçue sans contradiction ; ou plutôt ces deux propositions : « la terre tourne », et : « il est plus commode de supposer que la terre tourne », ont un seul et même sens ; il n’y a rien de plus dans l’une que dans l’autre.

Peut-être ne se contentera-t-on pas encore de cela, et trouvera-t-on déjà choquant que, parmi toutes les hypothèses ou plutôt toutes les conventions que nous pouvons faire à ce sujet, il y en ait une qui soit plus commode que les autres. [p. 142]

Mais si on l’a admis sans peine quand il s’agissait des lois de l’astronomie, pourquoi s’en choquerait-on en ce qui concerne la mécanique ?

Nous avons vu que les coordonnées des corps sont déterminées par des équations différentielles du second ordre, et qu’il en est de même des différences de ces coordonnées. C’est ce que nous avons appelé le principe d’inertie généralisé et le principe du mouvement relatif. Si les distances de ces corps étaient déterminées de même par des équations du second ordre, il semble que l’esprit devrait être entièrement satisfait. Dans quelle mesure l’esprit reçoit-il cette satisfaction, et pourquoi ne s’en contente-t-il pas ?

Pour nous en rendre compte, il vaut mieux prendre un exemple simple. Je suppose un système analogue à notre système solaire, mais d’où l’on ne puisse apercevoir des étoiles fixes étrangères à ce système, de telle façon que les astronomes ne puissent observer que les distances mutuelles des planètes et du soleil, et non les longitudes absolues des planètes. Si nous déduisons directement de la loi de Newton les équations différentielles qui définissent la variation de ces distances, ces équations ne seront pas du second ordre. Je veux dire que si, outre la loi de Newton, on connaissait les valeurs initiales de ces distances et de leurs dérivées par rapport au temps, cela ne suffirait pas pour déterminer les valeurs de ces mêmes distances à un instant ultérieur. Il manquerait encore une donnée, et cette donnée, ce pourrait être par [p. 143] exemple ce que les astronomes appellent la constante des aires.

Mais ici, on peut se placer à deux points de vue différents ; nous pouvons distinguer deux sortes de constantes. Aux yeux du physicien, le monde se réduit à une série de phénomènes, dépendant uniquement, d’une part, des phénomènes initiaux, d’autre part, des lois qui lient les conséquents aux antécédents. Si alors l’observation nous apprend qu’une certaine quantité est une constante, nous aurons le choix entre deux manières de voir.

Ou bien nous admettrons qu’il y a une loi qui veut que cette quantité ne puisse varier, mais que c’est par hasard qu’elle s’est trouvée avoir, à l’origine des siècles, telle valeur plutôt que telle autre, valeur qu’elle a dû conserver depuis. Cette quantité pourrait alors s’appeler une constante accidentelle.

Ou bien nous admettrons au contraire qu’il y a une loi de la nature qui impose à cette quantité telle valeur et non pas telle autre. Nous aurons alors ce qu’on peut appeler une constante essentielle.

Par exemple, en vertu des lois de Newton, la durée de la révolution de la terre doit être constante. Mais si elle est égale à 366 jours sidéraux et quelque chose et non à 300 ou à 400, c’est par suite de je ne sais quel hasard initial. C’est une constante accidentelle. Si au contraire l’exposant de la distance qui figure dans l’expression de la force attractive, est égal à — 2 et non pas [p. 144] — 3, ce n’est pas par hasard, c’est parce que la loi de Newton l’exige. C’est une constante essentielle.

Je ne sais si cette manière de faire au hasard sa part est légitime en soi, et si cette distinction n’a pas quelque chose d’artificiel ; il est certain du moins que, tant que la nature aura des secrets, elle sera dans l’application fortement arbitraire et toujours précaire.

En ce qui concerne la constante des aires, nous avons coutume de la regarder comme accidentelle. Est-il certain que nos astronomes imaginaires en feraient autant ? S’ils avaient pu comparer deux systèmes solaires différents, ils auraient l’idée que cette constante peut avoir plusieurs valeurs différentes ; mais j’ai justement supposé au début que leur système apparaissait comme isolé, et qu’ils n’observaient aucun astre qui y fût étranger. Dans ces conditions, ils ne pourraient voir qu’une constante unique qui aurait une valeur unique absolument invariable ; ils seraient portés sans aucun doute à la regarder comme une constante essentielle.

Un mot en passant pour prévenir une objection : les habitants de ce monde fictif ne pourraient ni observer ni définir la constante des aires comme nous le faisons, puisque les longitudes absolues leur échappent ; cela n’empêcherait pas qu’ils seraient rapidement amenés à remarquer une certaine constante qui s’introduirait naturellement dans leurs équations et qui ne serait [p. 145] autre chose que ce que nous appelons la constante des aires.

Mais alors voici ce qui va se passer. Si la constante des aires est regardée comme essentielle, comme dépendant d’une loi de la nature, il suffira, pour calculer les distances des planètes à un instant quelconque, de connaître les valeurs initiales de ces distances et celles de leurs dérivées premières. À ce point de vue nouveau, les distances seront régies par des équations différentielles du deuxième ordre.

L’esprit de ces astronomes serait-il cependant satisfait complètement ? Je ne le crois pas ; d’abord, ils s’apercevraient bientôt qu’en différenciant leurs équations, de façon à en élever l’ordre, ces équations deviennent bien plus simples. Et surtout ils seraient frappés de la difficulté qui provient de la symétrie. Il faudrait admettre des lois différentes, selon que l’ensemble des planètes présenterait la figure d’un certain polyèdre ou bien du polyèdre symétrique, et on n’échapperait à cette conséquence qu’en regardant la constante des aires comme accidentelle.

J’ai pris un exemple bien particulier, puisque j’ai supposé des astronomes qui ne s’occuperaient pas du tout de mécanique terrestre et dont la vue serait bornée au système solaire. Mais nos conclusions s’appliquent à tous les cas. Notre univers est plus étendu que le leur, puisque nous avons des étoiles fixes, mais il est cependant limité, lui aussi, et alors nous pourrions raisonner sur [p. 146] l’ensemble de notre univers, comme ces astronomes sur leur système solaire.

On voit ainsi qu’en définitive on serait conduit à conclure que les équations qui définissent les distances sont d’ordre supérieur au second. Pourquoi en serions-nous choqués, pourquoi trouvons-nous tout naturel que la suite des phénomènes dépende des valeurs initiales des dérivées premières de ces distances, tandis que nous hésitons à admettre qu’elles puissent dépendre des valeurs initiales des dérivées secondes ? Ce ne peut être qu’à cause des habitudes d’esprit créées en nous par l’étude constante du principe d’inertie généralisé et de ses conséquences.

Les valeurs des distances à un instant quelconque dépendent de leurs valeurs initiales, de celles de leurs dérivées premières et encore d’autre chose. Qu’est-ce que cette autre chose ?

Si l’on ne veut pas que ce soit tout simplement l’une des dérivées secondes, on n’a que le choix des hypothèses. Supposer, comme on le fait d’ordinaire, que cette autre chose c’est l’orientation absolue de l’univers dans l’espace, ou la rapidité avec laquelle cette orientation varie, cela peut être, cela est certainement la solution la plus commode pour le géomètre ; ce n’est pas la plus satisfaisante pour le philosophe, puisque cette orientation n’existe pas.

On peut supposer que cette autre chose est la position ou la vitesse de quelque corps invisible ; c’est ce qu’ont fait certaines personnes qui l’ont [p. 147] même appelé le corps alpha, bien que nous soyons destinés à ne jamais rien savoir de ce corps que son nom. C’est là un artifice tout à fait analogue à celui dont je parlais à la fin du paragraphe consacré à mes réflexions sur le principe d’inertie.

Mais en somme la difficulté est artificielle. Pourvu que les indications futures de nos instruments ne puissent dépendre que des indications qu’ils nous ont données ou qu’ils auraient pu donner autrefois, c’est tout ce qu’il faut. Or, sous ce rapport nous pouvons être tranquilles.

Quatrième Partie (La Nature), Chapitre IX : Les Hypothèses en Physique (`[p. 167–188]`)¶

Rôle de l’expérience et de la généralisation. — L’expérience est la source unique de la vérité : elle seule peut nous apprendre quelque chose de nouveau ; elle seule peut nous donner la certitude. Voilà deux points que nul ne peut contester.

Mais alors si l’expérience est tout, quelle place restera-t-il pour la physique mathématique ? Qu’est-ce que la physique expérimentale a à faire d’un tel auxiliaire qui semble inutile et peut-être même dangereux ?

Et pourtant la physique mathématique existe ; elle a rendu des services indéniables ; il y a là un fait qu’il est nécessaire d’expliquer.

C’est qu’il ne suffit pas d’observer, il faut se servir de ses observations, et pour cela il faut généraliser. C’est ce que l’on a fait de tout temps ; [p. 168] seulement, comme le souvenir des erreurs passées a rendu l’homme de plus en plus circonspect, on a observé de plus en plus et généralisé de moins en moins.

Chaque siècle se moquait du précédent, l’accusant d’avoir généralisé trop vite et trop naïvement. Descartes avait pitié des Ioniens ; Descartes à son tour nous fait sourire ; sans aucun doute nos fils riront de nous quelque jour.

Mais alors ne pouvons-nous aller tout de suite jusqu’au bout ? N’est-ce pas le moyen d’échapper à ces railleries que nous prévoyons ? Ne pouvons-nous nous contenter de l’expérience toute nue ?

Non, cela est impossible ; ce serait méconnaître complètement le véritable caractère de la science. Le savant doit ordonner ; on fait la science avec des faits comme une maison avec des pierres ; mais une accumulation de faits n’est pas plus une science qu’un tas de pierres n’est une maison.

Et avant tout le savant doit prévoir. Carlyle a écrit quelque part quelque chose comme ceci : « Le fait seul importe ; Jean sans Terre a passé par ici, voilà ce qui est admirable, voilà une réalité pour laquelle je donnerais toutes les théories du monde ». Carlyle était un compatriote de Bacon ; mais Bacon n’aurait pas dit cela. C’est là le langage de l’historien. Le physicien dirait plutôt : « Jean sans Terre a passé par ici ; cela m’est bien égal, puisqu’il n’y repassera plus ».

Nous savons tous qu’il y a de bonnes expériences et qu’il y en a de mauvaises. Celles-ci [p. 169] s’accumuleront en vain ; qu’on en ait fait cent, qu’on en ait fait mille, un seul travail d’un vrai maître, d’un Pasteur par exemple, suffira pour les faire tomber dans l’oubli. Bacon aurait bien compris cela, c’est lui qui a inventé le mot experimentum crucis. Mais Carlyle ne devait pas le comprendre. Un fait est un fait ; un écolier a lu tel nombre sur son thermomètre, il n’avait pris aucune précaution ; n’importe, il l’a lu, et s’il n’y a que le fait qui compte, c’est là une réalité au même titre que les pérégrinations du roi Jean sans Terre. Pourquoi le fait que cet écolier a fait cette lecture est-il sans intérêt, tandis que le fait qu’un physicien habile aurait fait une autre lecture serait au contraire très important ? C’est que de la première lecture nous ne pouvons rien conclure. Qu’est-ce donc qu’une bonne expérience ? C’est celle qui nous fait connaître autre chose qu’un fait isolé ; c’est celle qui nous permet de prévoir, c’est-à-dire celle qui nous permet de généraliser.

Car sans généralisation, la prévision est impossible. Les circonstances où l’on a opéré ne se reproduiront jamais toutes à la fois. Le fait observé ne recommencera donc jamais ; la seule chose que l’on puisse affirmer, c’est que dans des circonstances analogues, un fait analogue se produira. Pour prévoir il faut donc au moins invoquer l’analogie, c’est-à-dire déjà généraliser.

Si timide que l’on soit, il faut bien que l’on interpole ; l’expérience ne nous donne qu’un certain nombre de points isolés, il faut les réunir par [p. 170] un trait continu ; c’est là une véritable généralisation. Mais on fait plus, la courbe que l’on tracera passera entre les points observés et près de ces points ; elle ne passera pas par ces points eux-mêmes. Ainsi on ne se borne pas à généraliser l’expérience, on la corrige ; et le physicien qui voudrait s’abstenir de ces corrections et se contenter vraiment de l’expérience toute nue serait forcé d’énoncer des lois bien extraordinaires.

Les faits tout nus ne sauraient donc nous suffire ; c’est pourquoi il nous faut la science ordonnée ou plutôt organisée.

On dit souvent qu’il faut expérimenter sans idée préconçue. Cela n’est pas possible ; non seulement ce serait rendre toute expérience stérile, mais on le voudrait qu’on ne le pourrait pas. Chacun porte en soi sa conception du monde dont il ne peut se défaire si aisément. Il faut bien, par exemple, que nous nous servions du langage, et notre langage n’est pétri que d’idées préconçues et ne peut l’être d’autre chose. Seulement ce sont des idées préconçues inconscientes, mille fois plus dangereuses que les autres.

Dirons-nous que si nous en faisons intervenir d’autres, dont nous aurons pleine conscience, nous ne ferons qu’aggraver le mal ! je ne le crois pas ; j’estime plutôt qu’elles se serviront mutuellement de contrepoids, j’allais dire d’antidote ; elles s’accorderont généralement mal entre elles ; elles entreront en conflit les unes avec les autres et par là elles nous forceront à envisager les choses sous [p. 171] différents aspects. C’est assez pour nous affranchir : on n’est plus esclave quand on peut choisir son maître.

Ainsi, grâce à la généralisation, chaque fait observé nous en fait prévoir un grand nombre ; seulement nous ne devons pas oublier que le premier seul est certain, que tous les autres ne sont que probables. Si solidement assise que puisse nous paraître une prévision, nous ne sommes jamais sûrs absolument que l’expérience ne la démentira pas, si nous entreprenons de la vérifier. Mais la probabilité est souvent assez grande pour que pratiquement nous puissions nous en contenter. Mieux vaut prévoir sans certitude que de ne pas prévoir du tout.

On ne doit donc jamais dédaigner de faire une vérification, quand l’occasion s’en présente. Mais toute expérience est longue et difficile, les travailleurs sont peu nombreux ; et le nombre des faits que nous avons besoin de prévoir est immense ; auprès de cette masse, le nombre des vérifications directes que nous pourrons faire ne sera jamais qu’une quantité négligeable.

De ce peu que nous pouvons directement atteindre, il faut tirer le meilleur parti ; il faut que chaque expérience nous permette le plus grand nombre possible de prévisions et avec le plus haut degré de probabilité qu’il se pourra. Le problème est pour ainsi dire d’augmenter le rendement de la machine scientifique.

Qu’on me permette de comparer la Science à [p. 172] une bibliothèque qui doit s’accroître sans cesse ; le bibliothécaire ne dispose pour ses achats que de crédits insuffisants ; il doit s’efforcer de ne pas les gaspiller.

C’est la physique expérimentale qui est chargée des achats ; elle seule peut donc enrichir la bibliothèque.

Quant à la physique mathématique, elle aura pour mission de dresser le catalogue. Si ce catalogue est bien fait, la bibliothèque n’en sera pas plus riche. Mais il pourra aider le lecteur à se servir de ces richesses.

Et même en montrant au bibliothécaire les lacunes de ses collections, il lui permettra de faire de ses crédits un emploi judicieux ; ce qui est d’autant plus important que ces crédits sont tout à fait insuffisants.

Tel est donc le rôle de la physique mathématique ; elle doit guider la généralisation de façon à augmenter ce que j’appelais tout à l’heure le rendement de la science. Par quels moyens y parvient-elle, et comment peut-elle le faire sans danger, c’est ce qu’il nous reste à examiner.

L’unité de la nature. — Observons d’abord que toute généralisation suppose dans une certaine mesure la croyance à l’unité et à la simplicité de la nature. Pour l’unité il ne peut pas y avoir de difficulté. Si les diverses parties de l’univers n’étaient pas comme les organes d’un même corps, elles n’agiraient pas les unes sur les autres, elles [p. 173] s’ignoreraient mutuellement ; et nous, en particulier, nous n’en connaîtrions qu’une seule. Nous n’avons donc pas à nous demander si la nature est une, mais comment elle est une.

Pour le second point, cela ne va pas si aisément. Il n’est pas sûr que la nature soit simple. Pouvons-nous sans danger faire comme si elle l’était ?

Il fut un temps où la simplicité de la loi de Mariotte était un argument invoqué en faveur de son exactitude ; où Fresnel lui-même, après avoir dit, dans une conversation avec Laplace, que la nature ne se soucie pas des difficultés analytiques, se croyait obligé de donner des explications pour ne pas trop heurter l’opinion régnante.

Aujourd’hui les idées ont bien changé ; et cependant ceux qui ne croient pas que les lois naturelles doivent être simples, sont encore obligés souvent de faire comme s’ils le croyaient. Ils ne pourraient se soustraire entièrement à cette nécessité sans rendre impossible toute généralisation et par conséquent toute science.

Il est clair qu’un fait quelconque peut se généraliser d’une infinité de manières, et il s’agit de choisir ; le choix ne peut être guidé que par des considérations de simplicité. Prenons le cas le plus banal, celui de l’interpolation. Nous faisons passer un trait continu, aussi régulier que possible, entre les points donnés par l’observation. Pourquoi évitons-nous les points anguleux, les inflexions trop brusques ? Pourquoi ne faisons-nous pas décrire à [p. 174] notre courbe les zigzags les plus capricieux ? C’est parce que nous savons d’avance, ou que nous croyons savoir que la loi à exprimer ne peut pas être si compliquée que cela.

On peut déduire la masse de Jupiter soit des mouvements de ses satellites, soit des perturbations des grosses planètes, soit de celles des petites planètes. Si l’on prend la moyenne des déterminations obtenues par ces trois méthodes, on trouve trois nombres très voisins mais différents. On pourrait interpréter ce résultat en supposant que le coefficient de la gravitation n’est pas le même dans les trois cas ; les observations seraient certainement beaucoup mieux représentées. Pourquoi rejetons-nous cette interprétation ? Ce n’est pas qu’elle soit absurde, c’est qu’elle est inutilement compliquée. On ne l’acceptera que le jour où elle s’imposera, et elle ne s’impose pas encore.

En résumé, le plus souvent, toute loi est réputée simple jusqu’à preuve du contraire.

Cette habitude est imposée aux physiciens par les raisons que je viens d’expliquer ; mais comment la justifier en présence des découvertes qui nous montrent chaque jour de nouveaux détails plus riches et plus complexes ? Comment même la concilier avec le sentiment de l’unité de la nature ? car si tout dépend de tout, des rapports où interviennent tant d’objets divers ne peuvent plus être simples.

Si nous étudions l’histoire de la science, nous voyons se produire deux phénomènes pour ainsi [p. 175] dire inverses : tantôt c’est la simplicité qui se cache sous des apparences complexes, tantôt c’est au contraire la simplicité qui est apparente et qui dissimule des réalités extrêmement compliquées.

Quoi de plus compliqué que les mouvements troublés des planètes, quoi de plus simple que la loi de Newton ? Là, la nature, se jouant, comme disait Fresnel, des difficultés analytiques, n’emploie que des moyens simples et engendre, par leur combinaison, je ne sais quel écheveau inextricable. C’est là la simplicité cachée, celle qu’il faut découvrir.

Les exemples du contraire abondent. Dans la théorie cinétique des gaz, on envisage des molécules animées de grandes vitesses, dont les trajectoires, déformées par des chocs incessants, ont les formes les plus capricieuses, et sillonnent l’espace dans tous les sens. Le résultat observable est la loi simple de Mariotte ; chaque fait individuel était compliqué ; la loi des grands nombres a rétabli la simplicité dans la moyenne. Ici la simplicité n’est qu’apparente, et la grossièreté de nos sens nous empêche seule d’apercevoir la complexité.

Bien des phénomènes obéissent à une loi de proportionnalité ; mais pourquoi ? Parce que dans ces phénomènes il y a quelque chose qui est très petit. La loi simple observée n’est alors qu’une traduction de cette règle analytique générale, d’après laquelle l’accroissement infiniment petit d’une fonction est proportionnel à l’accroissement de la variable. Comme en réalité nos [p. 176] accroissements ne sont pas infiniment petits, mais très petits, la loi de proportionnalité n’est qu’approchée et la simplicité n’est qu’apparente. Ce que je viens de dire s’applique à la règle de la superposition des petits mouvements, dont l’emploi est si fécond et qui est le fondement de l’optique.

Et la loi de Newton elle-même ? Sa simplicité, si longtemps cachée, n’est peut-être qu’apparente. Qui sait si elle n’est pas due à quelque mécanisme compliqué, au choc de quelque matière subtile animée de mouvements irréguliers, et si elle n’est devenue simple que par le jeu des moyennes et des grands nombres ? En tout cas il est difficile de ne pas supposer que la loi véritable contient des termes complémentaires, qui deviendraient sensibles aux petites distances. Si en astronomie, ils sont négligeables devant celui de Newton et si la loi retrouve ainsi sa simplicité, ce serait uniquement à cause de l’énormité des distances célestes.

Sans doute, si nos moyens d’investigation devenaient de plus en plus pénétrants, nous découvririons le simple sous le complexe, puis le complexe sous le simple, puis de nouveau le simple sous le complexe, et ainsi de suite, sans que nous puissions prévoir quel sera le dernier terme.

Il faut bien s’arrêter quelque part, et pour que la science soit possible, il faut s’arrêter quand on a trouvé la simplicité. C’est là le seul terrain sur lequel nous pourrons élever l’édifice de nos généralisations. Mais, cette simplicité n’étant [p. 177] qu’apparente, ce terrain sera-t-il assez solide ? C’est ce qu’il convient de rechercher.

Pour cela, voyons quel rôle joue dans nos généralisations la croyance à la simplicité. Nous avons vérifié une loi simple dans un assez grand nombre de cas particuliers ; nous nous refusons à admettre que cette rencontre, si souvent répétée, soit un simple effet du hasard et nous en concluons que la loi doit être vraie dans le cas général.

Képler remarque que les positions d’une planète observées par Tycho sont toutes sur une même ellipse. Il n’a pas un seul instant la pensée que, par un jeu singulier du hasard, Tycho n’a jamais regardé le ciel qu’au moment où la trajectoire véritable de la planète venait couper cette ellipse.

Qu’importe alors que la simplicité soit réelle, ou qu’elle recouvre une vérité complexe ? Qu’elle soit due à l’influence des grands nombres, qui nivelle les différences individuelles, qu’elle soit due à la grandeur ou à la petitesse de certaines quantités qui permet de négliger certains termes, dans tous les cas, elle n’est pas due au hasard. Cette simplicité, réelle ou apparente, a toujours une cause. Nous pourrons donc toujours faire le même raisonnement, et si une loi simple a été observée dans plusieurs cas particuliers, nous pourrons légitimement supposer qu’elle sera encore vraie dans les cas analogues. Nous y refuser serait attribuer au hasard un rôle inadmissible.

Cependant il y a une différence. Si la simplicité était réelle et profonde, elle résisterait à la [p. 178] précision croissante de nos moyens de mesure ; si donc nous croyons la nature profondément simple, nous devrions conclure d’une simplicité approchée à une simplicité rigoureuse. C’est ce qu’on faisait autrefois ; c’est ce que nous n’avons plus le droit de faire.

La simplicité des lois de Képler, par exemple, n’est qu’apparente. Cela n’empêche pas qu’elles s’appliqueront, à fort peu près, à tous les systèmes analogues au système solaire, mais cela empêche qu’elles soient rigoureusement exactes.

Rôle de l’hypothèse. — Toute généralisation est une hypothèse ; l’hypothèse a donc un rôle nécessaire que personne n’a jamais contesté. Seulement elle doit toujours être, le plus tôt possible et le plus souvent possible, soumise à la vérification. Il va sans dire que, si elle ne supporte pas cette épreuve, on doit l’abandonner sans arrière-pensée. C’est bien ce qu’on fait en général, mais quelquefois avec une certaine mauvaise humeur.

Eh bien, cette mauvaise humeur même n’est pas justifiée ; le physicien qui vient de renoncer à une de ses hypothèses devrait être, au contraire, plein de joie, car il vient de trouver une occasion inespérée de découverte. Son hypothèse, j’imagine, n’avait pas été adoptée à la légère ; elle tenait compte de tous les facteurs connus qui semblaient pouvoir intervenir dans le phénomène. Si la vérification ne se fait pas, c’est qu’il y a quelque [p. 179] chose d’inattendu, d’extraordinaire ; c’est qu’on va trouver de l’inconnu et du nouveau.

L’hypothèse ainsi renversée a-t-elle donc été stérile ? Loin de là, ou peut dire qu’elle a rendu plus de services qu’une hypothèse vraie ; non seulement elle a été l’occasion de l’expérience décisive, mais on aurait fait cette expérience par hasard, sans avoir fait l’hypothèse, qu’on n’en aurait rien tiré ; on n’y aurait rien vu d’extraordinaire ; on n’aurait catalogué qu’un fait de plus sans en déduire la moindre conséquence.

Maintenant à quelle condition l’usage de l’hypothèse est-il sans danger ?

Le ferme propos de se soumettre à l’expérience ne suffit pas ; il y a encore des hypothèses dangereuses ; ce sont d’abord, ce sont surtout celles qui sont tacites et inconscientes. Puisque nous les faisons sans le savoir, nous sommes impuissants à les abandonner. C’est donc là encore un service que peut nous rendre la physique mathématique. Par la précision qui lui est propre, elle nous oblige à formuler toutes les hypothèses que nous ferions sans elle, mais sans nous en douter.

Remarquons, d’autre part, qu’il importe de ne pas multiplier les hypothèses outre mesure et de ne les faire que l’une après l’autre. Si nous construisons une théorie fondée sur des hypothèses multiples, et, si l’expérience la condamne, quelle est parmi nos prémisses celle qu’il est nécessaire de changer ? Il sera impossible de le savoir. Et inversement, si l’expérience réussit, croira-t-on avoir [p. 180] vérifié toutes ces hypothèses à la fois ? Croira-t-on avec une seule équation avoir déterminé plusieurs inconnues ?

Il faut également avoir soin de distinguer entre les différentes sortes d’hypothèses. Il y a d’abord celles qui sont toutes naturelles et auxquelles on ne peut guère se soustraire. Il est difficile de ne pas supposer que l’influence des corps très éloignés est tout à fait négligeable, que les petits mouvements obéissent à une loi linéaire, que l’effet est une fonction continue de sa cause. J’en dirai autant des conditions imposées par la symétrie. Toutes ces hypothèses forment pour ainsi dire le fonds commun de toutes les théories de la physique mathématique. Ce sont les dernières que l’on doit abandonner.

Il y a une seconde catégorie d’hypothèses que je qualifierai d’indifférentes. Dans la plupart des questions, l’analyste suppose, au début de son calcul, soit que la matière est continue, soit, inversement, qu’elle est formée d’atomes. Il aurait fait le contraire que ses résultats n’en auraient pas été changés ; il aurait eu plus de peine à les obtenir, voilà tout. Si alors l’expérience confirme ses conclusions, pensera-t-il avoir démontré, par exemple, l’existence réelle des atomes ?

Dans les théories optiques s’introduisent deux vecteurs que l’on regarde, l’un comme une vitesse, l’autre comme un tourbillon. C’est là encore une hypothèse indifférente, puisqu’on serait arrivé aux mêmes conclusions en faisant précisément le [p. 181] contraire ; le succès de l’expérience ne peut donc prouver que le premier vecteur est bien une vitesse ; il ne prouve qu’une chose, c’est que c’est un vecteur ; c’est là la seule hypothèse qu’on ait réellement introduite dans les prémisses. Pour lui donner cette apparence concrète qu’exige la faiblesse de notre esprit, il a bien fallu le considérer, soit comme une vitesse, soit comme un tourbillon ; de même qu’il a fallu le représenter par une lettre, soit par x, soit pary; mais le résultat, quel qu’il soit, ne prouvera pas que l’on a eu raison ou tort de le regarder comme une vitesse ; pas plus qu’il ne prouvera que l’on a eu raison ou tort de l’appelerxet non pasy.

Ces hypothèses indifférentes ne sont jamais dangereuses, pourvu qu’on n’en méconnaisse pas le caractère. Elles peuvent être utiles, soit comme artifices de calcul, soit pour soutenir notre entendement par des images concrètes, pour fixer les idées, comme on dit. Il n’y a donc pas lieu de les proscrire.

Les hypothèses de la troisième catégorie sont les véritables généralisations. Ce sont elles que l’expérience doit confirmer ou infirmer. Vérifiées ou condamnées, elles pourront être fécondes. Mais, pour les raisons que j’ai exposées, elles ne le seront que si on ne les multiplie pas.

Origine de la physique mathématique. — Pénétrons plus avant et étudions de plus près les conditions qui ont permis le développement [p. 182] de la physique mathématique. Nous reconnaissons du premier coup que les efforts des savants ont toujours tendu à résoudre le phénomène complexe donné directement par l’expérience en un nombre très grand de phénomènes élémentaires.

Et cela de trois manières différentes : d’abord dans le temps. Au lieu d’embrasser dans son ensemble le développement progressif d’un phénomène, on cherche simplement à relier chaque instant à l’instant immédiatement antérieur ; on admet que l’état actuel du monde ne dépend que du passé le plus proche, sans être directement influencé pour ainsi dire par le souvenir d’un passé lointain. Grâce à ce postulat, au lieu d’étudier directement toute la succession des phénomènes, on peut se borner à en écrire « l’équation différentielle » ; aux lois de Képler, on substitue celle de Newton.

Ensuite, on cherche à décomposer le phénomène dans l’espace. Ce que l’expérience nous donne, c’est un ensemble confus de faits se produisant sur un théâtre d’une certaine étendue ; il faut tâcher de discerner le phénomène élémentaire qui sera, au contraire, localisé dans une région très petite de l’espace.

Quelques exemples feront peut-être mieux comprendre ma pensée. Si l’on voulait étudier dans toute sa complexité la distribution de la température dans un solide qui se refroidit, on n’y pourrait jamais parvenir. Tout devient simple si l’on [p. 183] réfléchit qu’un point du solide ne peut directement céder de chaleur à un point éloigné ; il n’en cédera immédiatement qu’aux points les plus voisins, et c’est de proche en proche que le flux de chaleur pourra atteindre d’autres portions du solide. Le phénomène élémentaire, c’est l’échange de chaleur entre deux points contigus ; il est strictement localisé, et il est relativement simple, si l’on admet, comme il est naturel, qu’il n’est pas influencé par la température des molécules dont la distance est sensible.

Je ploie une verge ; elle va prendre une forme très compliquée dont l’étude directe serait impossible ; mais je pourrai l’aborder cependant, si j’observe que sa flexion n’est que la résultante de la déformation des éléments très petits de la verge, et que la déformation de chacun de ces éléments ne dépend que des forces qui lui sont directement appliquées et nullement de celles qui peuvent agir sur les autres éléments.

Dans tous ces exemples, que je pourrais multiplier sans peine, on admet qu’il n’y a pas d’action à distance ou du moins à grande distance. C’est là une hypothèse ; elle n’est pas toujours vraie, la loi de la gravitation nous le prouve ; il faut donc la soumettre à la vérification ; si elle est confirmée, même approximativement, elle est précieuse, car elle va nous permettre de faire de la physique mathématique au moins par approximations successives. [p. 184]

Si elle ne résiste pas à l’épreuve, il faut chercher autre chose d’analogue, car il y a encore d’autres moyens d’arriver au phénomène élémentaire. Si plusieurs corps agissent simultanément, il peut arriver que leurs actions soient indépendantes et s’ajoutent simplement les unes aux autres, soit à la façon des vecteurs, soit à la façon des quantités scalaires. Le phénomène élémentaire est alors l’action d’un corps isolé. Ou bien encore on a affaire à de petits mouvements, ou plus généralement à de petites variations, qui obéissent à la loi bien connue de la superposition. Le mouvement observé sera alors décomposé en mouvements simples, par exemple le son en ses harmoniques, la lumière blanche en ses composantes monochromatiques.

Quand on a discerné de quel côté il convient de chercher le phénomène élémentaire, par quels moyens peut-on l’atteindre ?

D’abord, il arrivera souvent que, pour le deviner, ou plutôt pour en deviner ce qui nous est utile, il ne sera pas nécessaire d’en pénétrer le mécanisme ; la loi des grands nombres suffira. Reprenons l’exemple de la propagation de la chaleur ; chaque molécule rayonne vers chaque molécule voisine ; suivant quelle loi, nous n’avons pas besoin de le savoir ; si nous supposions quelque chose à cet égard, ce serait une hypothèse indifférente et par conséquent inutile et invérifiable. Et, en effet, par l’action des moyennes et grâce à la symétrie du milieu, toutes les différences se nivellent et, quelle [p. 185] que soit l’hypothèse faite, le résultat est toujours le même.

La même circonstance se présente dans la théorie de l’élasticité, dans celle de la capillarité ; les molécules voisines s’attirent et se repoussent ; nous n’avons pas besoin de savoir d’après quelle loi ; il nous suffit que cette attraction ne soit sensible qu’aux petites distances, que les molécules soient très nombreuses, que le milieu soit symétrique et nous n’aurons plus qu’à laisser agir la loi des grands nombres.

Ici encore la simplicité du phénomène élémentaire se cachait sous la complication du phénomène résultant observable ; mais, à son tour, cette simplicité n’était qu’apparente et dissimulait un mécanisme très complexe.

Le meilleur moyen d’arriver au phénomène élémentaire serait évidemment l’expérience. Il faudrait, par des artifices expérimentaux, dissocier le faisceau complexe que la nature offre à nos recherches et en étudier avec soin les éléments aussi purifiés que possible ; par exemple, on décomposera la lumière blanche naturelle en lumières monochromatiques à l’aide du prisme et en lumières polarisées à l’aide du polariseur.

Malheureusement, cela n’est ni toujours possible, ni toujours suffisant et il faut quelquefois que l’esprit devance l’expérience. Je n’en citerai qu’un exemple qui m’a toujours vivement frappé :

Si je décompose la lumière blanche, je pourrai [p. 186] isoler une petite portion du spectre, mais, si petite qu’elle soit, elle conservera une certaine largeur. De même, les lumières naturelles dites monochromatiques nous donnent une raie très fine, mais qui n’est pas cependant infiniment fine. On pourrait supposer qu’en étudiant expérimentalement les propriétés de ces lumières naturelles, en opérant avec des raies spectrales de plus en plus fines, et en passant enfin à la limite, pour ainsi dire, on arrivera à connaître les propriétés d’une lumière rigoureusement monochromatique.

Cela ne serait pas exact. Je suppose que deux rayons émanent d’une même source, qu’on les polarise d’abord dans deux plans rectangulaires, qu’on les ramène ensuite au même plan de polarisation et qu’on cherche à les faire interférer. Si la lumière était rigoureusement monochromatique, ils interféreraient ; mais, avec nos lumières à peu près monochromatiques, il n’y aura pas d’interférence, et cela si étroite que soit la raie ; il faudrait, pour qu’il en fût autrement, qu’elle fût plusieurs millions de fois plus étroite que les plus fines raies connues.

Ici donc, le passage à la limite nous aurait trompés ; il a fallu que l’esprit devançât l’expérience et, s’il l’a fait avec succès, c’est qu’il s’est laissé guider par l’instinct de la simplicité.

La connaissance du fait élémentaire nous permet de mettre le problème en équation ; il ne reste plus qu’à en déduire par combinaison le fait complexe observable et vérifiable. C’est ce qu’on [p. 187] appelle l’intégration ; c’est là l’affaire du mathématicien.

On peut se demander pourquoi, dans les sciences physiques, la généralisation prend volontiers la forme mathématique. La raison est maintenant facile à voir ; ce n’est pas seulement parce que l’on a à exprimer des lois numériques ; c’est parce que le phénomène observable est dû à la superposition d’un grand nombre de phénomènes élémentaires tous semblables entre eux ; ainsi s’introduisent tout naturellement les équations différentielles.

Il ne suffit pas que chaque phénomène élémentaire obéisse à des lois simples, il faut que tous ceux que l’on a à combiner obéissent à la même loi. C’est alors seulement que l’intervention des mathématiques peut être utile ; les mathématiques nous apprennent, en effet, à combiner le semblable au semblable. Leur but est de deviner le résultat d’une combinaison, sans avoir besoin de refaire cette combinaison pièce à pièce. Si l’on a à répéter plusieurs fois une même opération, elles nous permettent d’éviter cette répétition en nous en faisant connaître d’avance le résultat par une sorte d’induction. Je l’ai expliqué plus haut, dans le chapitre sur le raisonnement mathématique.

Mais, pour cela, il faut que toutes ces opérations soient semblables entre elles ; dans le cas contraire, il faudrait évidemment se résigner à les faire effectivement l’une après l’autre et les mathématiques deviendraient inutiles.

C’est donc grâce à l’homogénéité approchée de [p. 188] la matière étudiée par les physiciens que la physique mathématique a pu naître.

Dans les sciences naturelles, on ne retrouve plus ces conditions : homogénéité, indépendance relative des parties éloignées, simplicité du fait élémentaire, et c’est pour cela que les naturalistes sont obligés de recourir à d’autres modes de généralisation.

Unité IV : L’Expérience, la Géométrie et les Hypothèses Physiques¶

Deuxième Partie, Chapitre V : L’Expérience et la Géométrie ([p. 92–105])¶

Supplément : Les trois dimensions et l’expérience ancestrale ([p. 105–109])¶

Troisième Partie (La Force), Chapitre VI : La Mécanique classique ([p. 110–134])¶

Troisième Partie (La Force), Chapitre VII : Le Mouvement relatif et le Mouvement absolu ([p. 135–147])¶

Quatrième Partie (La Nature), Chapitre IX : Les Hypothèses en Physique ([p. 167–188])¶

Deuxième Partie, Chapitre V : L’Expérience et la Géométrie (`[p. 92–105]`)¶

Supplément : Les trois dimensions et l’expérience ancestrale (`[p. 105–109]`)¶

Troisième Partie (La Force), Chapitre VI : La Mécanique classique (`[p. 110–134]`)¶

Troisième Partie (La Force), Chapitre VII : Le Mouvement relatif et le Mouvement absolu (`[p. 135–147]`)¶

Quatrième Partie (La Nature), Chapitre IX : Les Hypothèses en Physique (`[p. 167–188]`)¶