CHAPTER XXXV — Critical Commentary & Notes¶
How the Octocedron Is Formed and Inscribed in the Tetracedron.
Historical & Mathematical Commentary¶
Paganini 1509 Marginal Diagram: Folio 0038 (
f. 11v) shows diagram0038.g1.pngwith the tetrahedron \(abcd\) and the midpoint octahedron inscribed inside it.Connection to Rectification (*Abscission*): This inscription is the exact geometric foundation of the truncated tetrahedron (:term:`tetracedron <tetrahedron>` absciso, Plate III,
Cap. XLVIII): cutting the tetrahedron one-third of the way along each edge yields the semi-regular truncated tetrahedron, whereas cutting all the way to the midpoints (rectification) yields the regular :term:`*octahedron <octahedron>`*! Furthermore, since the 4 corner tetrahedra each have edge \(\frac{1}{2}a_{4}\) (hence volume \(\frac{1}{8}V_{\text{tetra}}\)), the remaining central octahedron of edge \(\frac{1}{2}a_{4}\) has volume \(V_{\text{tetra}} - 4\left(\frac{1}{8}V_{\text{tetra}}\right) = \frac{1}{2}V_{\text{tetra}}\), proving immediately that an octahedron of edge \(s\) has four times the volume of a tetrahedron of the same edge \(s\)!
Constantin Winterberg’s Commentary (1889 Edition)¶
Note 17 (Cap. XXXV–XLVI): Complete Projective Theory of the 21 Mutual Inscriptions of the Five Regular Solids via Polar Reciprocity in the Sphere (Sachliche Anmerkungen #17, Cap. XXXV–XLVI, pp. 227–235 (Anmerkungen pp. 345–352))
To understand the mutual relationships of the five regular solids systematically and resolve all possible questions of mutual inscription at a single stroke, we employ the projective theory of poles and polar planes with respect to a concentric sphere.
1. Direct vs. Reciprocal Correspondence and Polarity in the Sphere¶
Between the elements (vertices and bounding faces) of two polyhedra, we distinguish two kinds of correspondence:
Direct Correspondence: Each vertex of the inner solid corresponds to a vertex of the outer solid, or each face corresponds to a face.
Reciprocal Correspondence: Each vertex of the first solid corresponds to a bounding face of the second, or conversely each face of the first corresponds to a vertex of the second.
The simplest universal mechanism for establishing a mutual reciprocal correspondence is polar reciprocation with respect to a concentric sphere:
The pole of a plane cutting a sphere is the apex of the tangent cone touching the sphere along the circle of intersection; conversely, that plane is the polar plane of the point.
Taking a sphere concentric with any regular solid, the polar planes of all its vertices (or equivalently, the poles of all its faces) form its polar reciprocal regular solid:
Tetrahedron $\leftrightarrow$ Tetrahedron
Cube $\leftrightarrow$ Octahedron
Icosahedron $\leftrightarrow$ Dodecahedron
As the radius $R$ of the reciprocating sphere expands continuously from $0$ to $\infty$:
First Limit ($R = \rho$, the inradius of the original solid): The sphere touches the faces of the original solid from within; the poles of the faces are the centroids of the faces, so the reciprocal solid is inscribed in the original solid with its vertices at the face-centers.
Symmetric Dual Intersection ($R = \sqrt{r\rho}$, the geometric mean of the circumradius $r$ and inradius $\rho$): Both reciprocal solids are inscribed in the same outer sphere of radius $r$ and circumscribed about the same inner sphere of radius $\rho$!
Second Limit ($R = r$, the circumradius of the original solid): The sphere passes through the vertices of the original solid; the polar planes are the tangent planes at those vertices, so the original solid is now inscribed in its reciprocal solid!
2. Complete Classification of All 21 Possible Mutual Inscriptions¶
By means of polar reciprocation, all 20 mutual inscriptions between distinct regular solids (plus 1 self-inscription of the tetrahedron in the tetrahedron, making 21 cases in all) fall into three direct groups (a) and three polar-reciprocal groups (b), where an asterisk (*) marks the 12 cases treated by Euclid Book XV / Campanus / Pacioli in Chapters XXXV–XLVI:
(a) Direct Inscriptions (Vertices of Inner Solid) |
(b) Polar-Reciprocal Inscriptions (Faces of Outer Solid) |
|---|---|
Group I(a): Vertex on Vertex (Ecke auf Ecke) |
Group I(b): Face on Face (Fläche auf Fläche) |
1. Tetrahedron in Cube |
2. Octahedron in Tetrahedron |
3. Tetrahedron in Dodecahedron |
4. Icosahedron in Tetrahedron (omitted by Pacioli) |
5. Cube in Dodecahedron |
6. Icosahedron in Octahedron (omitted by Pacioli) |
Group II(a): Vertex on Face (Ecke auf Fläche) |
Group II(b): Face on Vertex (Fläche auf Ecke) |
7. Octahedron in Cube |
8. Cube in Octahedron |
9. Icosahedron in Dodecahedron |
10. Dodecahedron in Icosahedron |
11. Tetrahedron in Icosahedron |
12. Dodecahedron in Tetrahedron (omitted by Pacioli) |
13. Cube in Icosahedron |
14. Dodecahedron in Octahedron (omitted by Pacioli) |
Group III(a): Vertex on Edge (Ecke auf Kante) |
Group III(b): Edge on Face (Kante in Fläche) |
15. Octahedron in Dodecahedron |
16. Icosahedron in Cube (treated in Piero/Pacioli’s Libellus!) |
17. Octahedron in Icosahedron (denied by :person:`Pacioli <pacioli>` in Cap. XLVI; proved by :person:`Tartaglia <niccolo-tartaglia>` & Note 15) |
18. Dodecahedron in Cube (omitted by Pacioli) |
19. Tetrahedron in Octahedron |
20. Cube in Tetrahedron (omitted by Pacioli) |
21. Tetrahedron in Tetrahedron (vertices at face-centroids; omitted in Cap. XXXV–XLVI) |
(Self-reciprocal) |
3. Geometric Derivation of the Reciprocal Cases¶
Group I (1 $\leftrightarrow$ 2, 3 $\leftrightarrow$ 4, 5 $\leftrightarrow$ 6): Taking the polar reciprocals of two solids sharing common vertices on a circumscribed sphere converts the inner solid into the outer reciprocal solid and the outer solid into the inner reciprocal solid, with coincident faces replacing coincident vertices:
From 1 (Tetrahedron in Cube) arises 2 (Octahedron in Tetrahedron), where 4 of the 8 faces of the octahedron lie in the 4 faces of the tetrahedron and the 6 vertices of the octahedron lie at the 6 edge-midpoints of the tetrahedron.
From 3 (Tetrahedron in Dodecahedron) arises 4 (Icosahedron in Tetrahedron), where 4 faces of the icosahedron lie in the 4 faces of the circumscribing tetrahedron (obtained by extending the 4 icosahedron faces whose centroids form the inscribed tetrahedron of Case 11 until they meet!).
From 5 (Cube in Dodecahedron) arises 6 (Icosahedron in Octahedron), where 8 faces of the icosahedron lie in the 8 faces of the octahedron and all 12 vertices of the icosahedron lie on the 12 edges of the octahedron (dividing them in the golden ratio!).
Group II (7 $\leftrightarrow$ 8, 9 $\leftrightarrow$ 10, 11 $\leftrightarrow$ 12, 13 $\leftrightarrow$ 14):
7 $\leftrightarrow$ 8 (Octahedron $\leftrightarrow$ Cube) and 9 $\leftrightarrow$ 10 (Icosahedron $\leftrightarrow$ Dodecahedron) are dual pairs directly.
From 11 (Tetrahedron in Icosahedron), reciprocating with respect to the sphere touching the icosahedron and circumscribing the dodecahedron yields 12 (Dodecahedron in Tetrahedron): passing tangent planes through the 4 common vertices of the dodecahedron and its inscribed tetrahedron (Case 3) forms the circumscribing tetrahedron touching 4 vertices of the dodecahedron.
From 13 (Cube in Icosahedron) arises 14 (Dodecahedron in Octahedron), where the centers of the 8 octahedron faces contain the 8 vertices of the dodecahedron that form an inscribed cube.
Group III (15 $\leftrightarrow$ 16, 17 $\leftrightarrow$ 18, 19 $\leftrightarrow$ 20): Because the two solids do not share a common circumsphere when vertices fall on edges, we reciprocate with respect to any concentric sphere (e.g., the sphere circumscribing the outer solid), transforming vertices on edges into faces containing edges:
From 15 (Octahedron in Dodecahedron) arises 16 (Icosahedron in Cube), where 6 opposite parallel edges of the icosahedron lie in the 6 square faces of the cube along their midlines in three mutually perpendicular directions, so that all 12 vertices of the icosahedron rest in pairs on the 6 faces of the cube! Remarkably, although omitted here in the Compendio, this exact inscription is explicitly treated in Piero della Francesca / Pacioli's companion Libellus de Quinque Corporibus Regularibus!
From 17 (Octahedron in Icosahedron) arises 18 (Dodecahedron in Cube), where 6 opposite parallel edges of the dodecahedron lie along the midlines of the 6 faces of the cube (while the 8 remaining vertices of the dodecahedron, corresponding to an inscribed cube, lie free inside).
From 19 (Tetrahedron in Octahedron) arises 20 (Cube in Tetrahedron), where the 4 faces of the tetrahedron contain 4 edges of the cube (two opposite top edges of the cube and the two perpendicular bottom edges).
Anmerkung 17 (Cap. XXXV–XLVI, S. 345–352): Vollständige Theorie aller 21 gegenseitigen Einbeschreibungen der fünf regulären Körper mittelst Polarität an der Kugel
Wenn auch Pacioli die Bedeutung der fünf regelmässigen Körper in theoretischer wie in praktischer Hinsicht weit überschätzt, so scheint es gleichwohl von Interesse, auf die Theorie dieses Gegenstandes etwas näher einzugehen, um die Eigenschaften jener Körper in ihrem gegenseitigen Zusammenhange leichter zu verstehen. Es werden hierdurch leicht alle auf die gegenseitige Einbeschreibung bezüglichen Fragen erledigt.
1. Directe und reciproke Beziehung mittelst Polarität an der Kugel¶
Von irgend einem Körper kann man stets die Ecken und Grenzflächen auf zweierlei Art aufeinander bezogen denken:
Directe Beziehung: Jedem Eckpunkt des einen Körpers wird ein Eckpunkt des andern, oder jeder Ebene des einen eine Ebene des andern zugeordnet.
Reciproke Beziehung: Zu jeder Ecke des ersten wird eine Grenzfläche des zweiten oder umgekehrt zu jeder Grenzfläche des ersten eine Ecke des zweiten zugeordnet.
Die einfachste Art, eine wechselseitige reciproke Beziehung herzustellen, ist die polare Beziehung mittelst einer concentrischen Kugel. Unter dem Pol einer Ebene bezüglich einer Kugel versteht man die Spitze des Tangentenkegels, dessen Basis der von jener Ebene aus der Kugel ausgeschnittene Kreis ist, wie umgekehrt diese Ebene die Polarebene jenes Punktes genannt wird. Bestimmt man auf diese Weise von irgend einem der regelmässigen Körper seinen polaren Körper mittelst einer concentrischen Kugel, so ergibt sich für jeden Körper der reciproke als polare Figur.
Denkt man sich die Kugel vom Radius $R$ allmählich wachsend:
Erster Grenzfall ($R = \rho$): Berührt die Kugel den ursprünglich gegebenen Körper von innen, so fallen die Pole seiner Tangentialebenen in die Berührungspunkte (Flächenmitten), deren Verbindung den polaren Körper liefert, der somit dem ursprünglichen genau einbeschrieben ist.
Gegenseitige Durchdringung bei gemeinsamer Um- und Inkugel ($R = \sqrt{r\rho}$): Beide Körper werden von derselben Kugel vom Radius $r$ umschlossen und umhüllen dieselbe Kugel vom Radius $\rho$.
Zweiter Grenzfall ($R = r$): Umhüllt die Kugel den ursprünglichen Körper genau, so vertauschen beide Körper ihre Stellen, und der ursprüngliche ist dem polaren genau einbeschrieben.
2. Schema aller 21 möglichen Fälle gegenseitiger Einbeschreibung¶
Die sämmtlichen überhaupt möglichen 20 oder genauer 21 Fälle dieser Art ergeben sich, indem man zunächst nach drei Gruppen ordnet, je nachdem bei der Einschreibung Ecke auf Ecke, Ecke auf Seitenfläche oder Ecke auf Kante fällt. Durch reciproke Uebertragung leitet man sodann aus den zehn hierauf bezüglichen Fällen ebensoviel neue ab, je nachdem Fläche auf Fläche, Fläche auf Ecke und Kante in Fläche fällt (die mit * bezeichneten sind die im Text Pacioli's bereits erwähnten 12 Fälle):
a) Direct |
b) Durch reciproke Uebertragung |
|---|---|
I. Ecke auf Ecke |
I’. Fläche auf Fläche |
1. Tetraeder im Kubus |
|
3. Tetraeder im Dodekaeder |
|
5. Kubus im Dodekaeder |
|
II. Ecke auf Fläche |
II’. Fläche auf Ecke |
7. Oktaeder im Kubus |
8. Kubus im Oktaeder |
9. Ikosaeder im Dodekaeder |
10. Dodekaeder im Ikosaeder |
11. Tetraeder im Ikosaeder |
12. Dodekaeder im Tetraeder |
13. Kubus im Ikosaeder |
14. Dodekaeder im Oktaeder |
III. Ecke auf Kante |
III’. Kante in Fläche |
15. Oktaeder im Dodekaeder |
16. Ikosaeder im Kubus (im Libellus behandelt) |
17. Oktaeder im Ikosaeder (von :person:`Pacioli <pacioli>` geleugnet) |
18. Dodekaeder im Kubus |
19. Tetraeder im Oktaeder |
20. Kubus im Tetraeder |
21. Tetraeder ins Tetraeder (im Text übersehen) |
(Selbstreciprok) |
3. Ableitung der einzelnen Gruppen¶
Erste Gruppe (1–6): Mittelst der Kugel, welche je zweien der Körper aus der linken Gruppe umschrieben ist, werden die Polarebenen der gemeinsamen Ecken zu gemeinsamen Tangentialebenen:
In 2 (Oktaeder im Tetraeder) fallen vier Ebenen des Oktaeders in die vier Tetraederflächen, während die sechs Ecken des Oktaeders in die Mitten der sechs Kanten des Tetraeders fallen.
Aus 3 entsteht 4 (Ikosaeder im Tetraeder), wobei vier Ebenen des Ikosaeders mit den vier Tetraederebenen zusammenfallen (indem man die vier Flächen des Ikosaeders, deren Mitten die Ecken des eingeschriebenen Tetraeders bilden, bis zu ihrem gegenseitigen Durchschnitt verlängert).
Aus 5 wird 6 (Ikosaeder im Oktaeder) abgeleitet, wobei acht Ikosaederflächen mit den acht Flächen des Oktaeders zusammenfallen und zugleich die zwölf Ecken des Ikosaeders in die zwölf Kanten des Oktaeders fallen.
Zweite Gruppe (7–14):
7 $\leftrightarrow$ 8 und 9 $\leftrightarrow$ 10 ergeben sich unmittelbar.
Um aus 11 den Fall 12 (Dodekaeder im Tetraeder) abzuleiten, vergegenwärtigt man sich den Fall 3 des dem Dodekaeder eingeschriebenen Tetraeders und legt durch die gemeinsamen vier Eckpunkte beider Körper Tangentialebenen, deren Gesammtheit das dem Dodekaeder umschriebene Tetraeder bildet.
Analog ergibt sich 14 (Dodekaeder im Oktaeder) aus 13, wobei die Mitten der acht Oktaederflächen diejenigen acht Ecken des Dodekaeders enthalten, welche verbunden den eingeschriebenen Kubus bilden würden.
Dritte Gruppe (15–20): Fallen bei den Körpern links Ecken auf Kanten, so fallen bei den reciproken Körpern rechts Ebenen auf Kanten (d. h. Kanten in die Seitenflächen):
Aus 15 ergibt sich 16 (Ikosaeder im Kubus), wobei sechs Ikosaederkanten in die sechs Kubusflächen, und zwar in deren Mittellinien je zwei und zwei parallel fallen, so dass sämmtliche 12 Ecken des Ikosaeders als Endpunkte der Kanten zu je zwei auf den Kubusflächen liegen. Dieser im Text der Divina proportione nicht aufgezählte Fall wird eigenthümlicherweise im Tractat über die fünf regelmässigen Körper (Libellus) ausdrücklich erwähnt und behandelt!
Aus 17 entsteht 18 (Dodekaeder im Kubus), wobei die Kantenlage dieselbe ist wie bei 16, ausserdem aber noch acht Ecken frei liegen, welche den Ecken des dem Dodekaeder eingeschriebenen Kubus entsprechen.
Aus 19 endlich findet sich 20 (Kubus im Tetraeder), wobei die vier Flächen des Tetraeders vier Kanten des Kubus enthalten (zwei sich gegenüberliegende Seiten des obern und die sie kreuzenden des untern Quadrats).
Philological and Folio Apparatus¶
1509 Paganini Witness Folios: 0041 (f. 13r–f. 13r)
Winterberg 1889 Italian Source:
winterberg/01_divina_proportione_italian/035_cap_XXXV.txtWinterberg 1889 German Source:
winterberg/03_divina_proportione_german/035_cap_XXXV.txtMarginal Woodcut Diagrams: 0 figure(s) extracted from the 1509 Venice witness.