CAPITEL XXIX

Von der Anfertigung und Bildung des Ikosaeder genannten Körpers.

[Folio 0034–0036 (f. 9v–f. 10v)]

Den Körper aus 20 gleichseitigen Dreiecksflächen herzustellen, der genau von einer gegebenen Kugel, die einen rationalen Durchmesser habe, umgeben sei. Augenscheinlich wird die Seite des genannten Körpers eine irrationale Linie, d. h. Jene sein, welche kleinere Linie genannt wird, z. B. es sei auch hier der Durchmesser der gegebenen Kugel a&, wovon man annimmt, dass er entweder in der blossen Länge oder nur in deren Potenz rational sei. Und er werde im Punkte c getheilt, so dass ac das Vierfache von bc sei. Und man schlage über ihr, scil. ab einen Halbkreis abd und ziehe cd senkrecht zu ab, und ziehe ferner die Linie db.

Ferner schlage man mit der Länge der Linie db (als Radius) den Kreis efghk um / als Centrum, in welchen man ein gleichseitiges Fünfeck einschreibe, welches durch dieselben (Buchstaben) markirt wird. Zu den Ecken desselben ziehe man vom Centrum / aus die Linien le, If, lg, Ih, Ik. Und ausserdem beschreibe man in demselben Kreis ein gleichseitiges Zehneck. Man halbire demgemäss alle Bogen, deren Sehnen die Seiten des Fünfecks sind, und ziehe von den Halbirungspunkten nach den Endpunkten aller Seiten des eingeschriebenen Pentagons gerade Linien. Und ferner richte man über allen Eckpunkten des genannten Pentagons die Kathete, wie es die zwölfte des elften lehrt, wovon jede ebenfalls gleich der Linie db sei.

Und die Endpunkte dieser fünf Katheten verbinde man durch Wenn die ganze Länge der stetig zu theiienden Linie rational ist, so werden die Abschnitte stets irrational sein, was zu obiger heute nicht mehr gebräuchlicher Benennung Veranlassung gegeben. fünf Corausten/) dann werden nach der sechsten des elften die so gerichteten Katheten gleichweit von einander abstehen. Und sofern sie einander gleich sind, so werden auch zufolge der dreiunddreissigsten die fünf Corausten, welche ihre Endpunkte verbinden, gleich den Pentagonseiten sein.

Lasse sodann von jeder Spitze aller Katheten je zwei und zwei Hypotomissen nach den beiden benachbarten Ecken des eingeschriebenen Zehnecks herab und die Endpunkte dieser zehn Hypotumissen, die von den fünf Enden der Katheten zu den fünf Punkten herabgehen, deren jeder ein dazwischenliegender Mittelpunkt des einbeschriebenen Zehnecks ist, verbinde, indem du ein anderes Pentagon in dem genannten Kreise bildest, ‘ Dies wird ebenfalls zufolge der dreiundzwanzigsten des dritten gleichseitig sein. Und wenn du dies gemacht haben wirst, wirst du sehen, dass du zehn Dreiecke gebildet haben wirst, deren Seiten die zehn Hypotomissen, “die fünf Corausten und die fünf Seiten dieses eingeschriebenen Pentagons sind.

Und dass diese Dreiecke gleichseitig seien, wirst du folgendermassen erkennen: sofern sowohl der Halbmesser des beschriebenen Kreises, als jede der errichteten Katheten gleich der Linie bd, der Voraussetzung gemäss ist, wird nach der Folgerung der fünfzehnten des vierten jede der Katheten gleich der Seite des gleichseitigen Sechsecks sein, welches in dem Kreis beschrieben ist, dessen Durchmesser gleich der Linie bd.

Und weil nach der vorletzten des ersten das Quadrat von jeder der zehn Hypotomissen das Quadrat der Kathete um dasjenige der Zehnecksseite übertrifft, und auch nach der zehnten des dreizehnten das Quadrat der Fünfecksseite um den Betrag des Quadrats der Zehnecksseite grösser ist als das der eben genannten, so wird nach gemeinem Wissen jede dieser Hypotomissen gleich der Seite des Pentagons sein. Und von den Corausten ist schon gezeigt worden, dass sie den Seiten des Pentagons gleich seien. Daher sind alle Seiten dieser zehn Dreiecke in der That entweder wirklich Seiten des zum zweitenmale in dem Kreis beschriebenen gleichseitigen Fünfecks, oder sie sind jenen wirklich gleich. Daher sind die genannten Dreiecke gleichseitig.

Ferner errichte man noch über dem Centrum des Kreises, welches der Punkt l ist, eine andere, den ersten gleiche Kathete, welche hn sei. Und ihr oberes Ende, welches der Punkt m sei, verbinde man mit jedem Endpunkte der ersten mittelst fünf Corausten. Dann wird nach der sechsten des elften diese centrale Kathete, d. h. die im Centrum errichtete gleich weit von jeder in den Endpunkten errichteten Katheten sein. Daher werden nach der dreiundreissigsten des ersten diese fünf Corausten dem Halbmesser des Kreises gleich sein, und nach der Folgerung der fünfzehnten des vierten wird jede so gross wie die Sechsecksseite sein.

Daher füge man zu der genannten centralen Kathete von beiden Seiten eine der Zehnecksseite gleiche Linie, d. h. oberhalb aufwärts zu füge man mn an, und nach unten unterhalb des Kreises setze man vom Centrum des Kreises Ip hinzu. Sodann lasse man vom Punkte n aus fünf Hypotumissen auf die fünf obern Eckpunkte der zehn Dreiecke herab, welche im Umkreise herumstehen; und vom Punkte p aus andere fünf, zu den andern fünf untern Eckpunkten. Dann werden diese zehn Hypotumissen unter sich nach der vorletzten des ersten und der zehnten des dreizehnten gleich den Seiten des eingeschriebenen Fünfecks sein, wie es von den andern zehn vorher bewiesen worden.

Du hast also den Körper von zwanzig gleichseitigen Dreiecksflächen, deren sämmtliche Seiten gleich der Seite des Fünfecks sind. Und sein Durchmesser ist die Linie np, und von diesen zwanzig Dreiecken stehen zehn im Umfange oberhalb des Kreises, und fünf erheben sich darüber, indem sie im Punkte n zusammentreffen, und die fünf andern treffen sich unterhalb des Kreises im Punkte p. Und dass dieser Ikosaeder genannte Körper so gebildet sei, dass die gegebene Kugel ihn genau umfasse, offenbart sich folgendermassen.

Sofern die Linie hn der Sechsecksseite i), und die Linie mn der Zehnecksseite gleich, welche (Polygone) gleichseitig und beide von demselben Kreise efg umschrieben, so wird die ganze Linie In nach der neunten des dreizehnten im Punkte ni nach der Proportion getheilt sein, die einen mittleren und zwei äussere Abschnitte hat; und ihr grösserer Abschnitt wird die Linie Im sein. Man halbire daher Im im Punkte q und es wird nach gemeinem Wissen pq = qn sein, weil j?/ ebenso wie mn gleich der Zehnecksseite genommen. worden. Daher ist qn = ‘lnp ebenso wie qm = ‘/ilm.

Da nun nach der dritten des dreizehnten nqbqm, so wird auch nach der fünfzehnten des fünften pn-=5lm’ sein. Denn nach der vierten des zweiten ist pn~=/.qnP- und ebenso nach derselben lm=.qm-. Und das vierfache verhält sich zum vierfachen wie das einfache zum einfachen, wie es die fünfzehnte des fünften versichert. Und nach dem zweiten Theile des Corollars der achten des sechsten, und nach dem Corollar der siebzehnten desselben ist ferner ab’=5bd’. Denn es ist auch abSbc, da ac das vierfache davon war, Weil nun nach Voraussetzung lm = bd ist, so wird nach gemeinem Wissen ab = np sein.

Wenn man also über der Linie 7ip einen Halbkreis beschriebe, der ringsum gedreht werde, bis er zu der ersten Stelle zurückkehrt, von wo er sich zu bewegen begann, so wird die Kugel, die durch seine Bewegung entstanden (nach der Definition der gleichen Kugeln) gleich der angenommenen Kugel sein. Und weil die Linie Im die mittlere Proportionale zwischen In und nm, und daher auch zwischen In und pl, so wird auch jeder Halbmesser des Kreises die mittlere Proportionale zwischen In und Ip sein.

Und sofern Im gleich dem Halbmesser des Kreises ist, so wird der über pn beschriebene Halbkreis durch alle Punkte des Umfangs des Kreises efg, daher auch durch alle Ecken des festen Körpers gehen, welche sich auf jenem Halbkreise befinden. Und weil aus demselben Grunde alle Corausten (welche die Endpunkte der in den Ecken errichteten Katheten mit dem Endpunkte der Centrale verbinden) mittlere Proportionalen zwischen pm und mn sind, sofern jede von ihnen gleich Im ist, so folgt, dass derselbe Halbkreis auch durch die übrigen Ecken des so construirten Ikosaeders hindurchgehen wird.

Es ist also eben dieser Körper in die Kugel einfügbar, deren Durchmesser pji und daher auch in die Kugel, deren Durchmesser ab ist. Und von der Seite dieser festen Figur behaupte ich, dass sie die kürzere Linie sei, deim es ist offenbar, dass die Linie bd rational sei bezüglich ihrer Potenz, sofern ihr Quadrat der fünfte Theil des Quadrats der Linie ab die als rational entweder bezüglich ihrer unmittelbaren Länge oder ihrer Potenz vorausgesetzt worden. Daher sind auch ferner der Halbmesser und die Halbmesser des Kreises efg rational in der Potenz, da sein Halbmesser gleich bd.

Daher ist nach der zwölften des dreizehnten die Seite des in unserm Kreis beschriebenen gleichseitigen Fünfecks die kleinere Linie. Und ferner wie im Verlauf dieses Beweises gezeigt worden, ist die Seite dieser Figur so gross wie die Seite des Fünfeckes. Daher ist die Seite dieser Figur von zwanzig gleichseitigen Dreiecken die kleinere Linie, wie vorher angegeben.

Marginal Woodcut Diagrams (Paganini 1509)

Folio 0034 Diagram 2

Folio 0035 Diagram 1

Folio 0035 Diagram 2

Folio 0036 Diagram 1