Kapitel V: Der Desarguessche Satz¶
David Hilbert — Grundlagen der Geometrie (Festschrift, B. G. Teubner, Leipzig 1899)
§ 22. Der Desarguessche Satz und der Beweis desselben in der Ebene mit Hülfe der Congruenzaxiome¶
Von den im Kapitel I aufgestellten Axiomen sind diejenigen der Gruppen II–V sämtlich teils lineare, teils ebene Axiome; die Axiome 3–7 der Gruppe I sind die einzigen räumlichen Axiome. Um die Bedeutung dieser räumlichen Axiome klar zu erkennen, denken wir uns irgend eine ebene Geometrie vorgelegt und untersuchen allgemein die Bedingungen dafür, dass diese ebene Geometrie sich als Teil einer räumlichen Geometrie auffassen lässt, in welcher wenigstens die Axiome der Gruppen I–III sämtlich erfüllt sind.
Auf Grund der Axiome der Gruppen I — III ist es bekanntlich leicht möglich, den sogenannten Desarguesschen Satz zu beweisen; derselbe ist ein ebener Schnittpunktsatz. Wir nehmen insbesondere die Gerade, auf der die Schnittpunkte entsprechender Seiten der beiden Dreiecke liegen sollen, zur „Unendlichfernen“, wie man sagt, und bezeichnen den so entstehenden Satz nebst seiner Umkehrung schlechthin als Desarguesschen Satz; dieser Satz lautet, wie folgt:
Satz 32. (Desarguesscher Satz.) Wenn zwei Dreiecke in einer Ebene so gelegen sind, dass je zwei entsprechende Seiten einander parallel sind, so laufen die Verbindungslinien der entsprechenden Ecken durch ein und denselben Punkt oder sind einander parallel, und umgekehrt :
Wenn zwei Dreiecke in einer Ebene so gelegen sind, dass die Verbindungslinien der entsprechenden Ecken durch einen Punkt
laufen oder einander parallel sind, und wenn ferner zwei Paare
entsprechender Seiten in den Dreiecken einander parallel sind, so sind auch die dritten Seiten der beiden Dreiecke einander parallel.
Wie bereits erwähnt, ist der Satz 32 eine Folge der Axiome I — III; dieser Thatsache gemäss ist die Gültigkeit des Desarguesschen Satzes in der Ebene jedenfalls eine notwendige Bedingung dafür, dass die Geometrie dieser Ebene sich als Teil einer räumlichen Geometrie auffassen lässt, in welcher die Axiome der Gruppen I — III sämtlich erfüllt sind.
Wir nehmen nun wie in den Kapiteln III und IV eine ebene Geometrie an, in welcher die Axiome I 1 — 2 und II — IV gelten, und denken uns in derselben nach § 15 eine Streckenrechnung eingeführt: dann lässt sich, wie in § 17 dargelegt worden ist, jedem Punkte der Ebene ein Paar von Strecken (x, y) und jeder Geraden ein Verhältnis von drei Strecken (u : v : w) zuordnen derart, dass die lineare Gleichung
$$ ux + vy + w = 0 $$
die Bedingung für die vereinigte Lage von Punkt und Gerade darstellt. Das System aller Strecken in unserer Geometrie bildet nach § 17 einen Zahlenbereich, für welchen die in § 13 aufgezählten Eigenschaften 1–16 bestehen, und wir können daher mittelst dieses Zahlenbereiches, ähnlich wie es in § 9 oder § 12 mittelst des Zahlensystems $\Omega$ bez. $\Omega(t)$ geschehen ist, eine räumliche Geometrie construiren: wir setzen zu dem Zwecke fest, dass ein System von drei Strecken $(x, y, z)$ einen Punkt, die Verhältnisse von vier Strecken $(u : v : w : r)$ eine Ebene darstellen möge, während die Geraden als Schnitte zweier Ebenen definirt sind; dabei drückt die lineare Gleichung
$$ ux + vy + wz + r = 0 $$
aus, dass der Punkt $(x, y, z)$ auf der Ebene $(u : v : w : r)$ liegt.
der Punkte einer Ebene in Bezug auf eine Gerade in ihr oder endlich die Anordnung der Punkte in Bezug auf eine Ebene im Raume anbetrifft, so wird diese in analoger Weise durch Ungleichungen zwischen Strecken bestimmt, wie dies in § 9 für die Ebene geschehen ist.
Da wir durch das Einsetzen des Wertes z = 0 die ursprüngliche ebene Geometrie wieder gewinnen, so erkennen wir, dass unsere ebene Geometrie als Teil einer räumlichen Geometrie betrachtet werden kann. Nun ist hierfür die Gültigkeit des Desarguesschen Satzes nach den obigen Ausführungen eine notwendige Bedingung , und daher folgt , dass in der angenommenen ebenen Geometrie auch der Desarguessche Satz gelten muss.
Wir bemerken, dass die eben gefundene Thatsache sich auch direkt aus dem Satze 23 in der Lehre von den Proportionen ohne Mühe ableiten lässt.
§ 23. Die Nichtbeweisbarkeit des Desarguesschen Satzes in der Ebene ohne Hülfe der Congruenzaxiome¶
Wir untersuchen nun die Frage, ob in der ebenen Geometrie auch ohne Hülfe der Congruenzaxiome der Desarguessche Satz bewiesen werden kann, und gelangen dabei zu folgendem Resultate :
Satz 33. Es giebt eine ebene Geometrie, in welcher die Axiome I 1–2, II–III, IV 1–5, V, d. h. sämtliche linearen und ebenen Axiome mit Ausnahme des Congruenzaxioms IV 6 erfüllt sind, während der Desarguessche Satz (Satz 32) nicht gilt. Der Desarguessche Satz kann mithin aus den genannten Axiomen allein nicht gefolgert werden: es bedarf zum Beweise desselben notwendig entweder der räumlichen Axiome oder der sämtlichen Congruenzaxiome.
Beweis. Wir wählen in der gewöhnlichen ebenen Geometrie, deren Möglichkeit bereits im Kapitel II § 9 erkannt worden ist, irgend zwei zu einander senkrechte Gerade als Coordinatenaxen X, Y und denken uns um den Nullpunkt 0 dieses Coordinatensystems als Mittelpunkt eine Ellipse mit den Halbaxen $1$ und $\frac{1}{2}$ construirt; endlich bezeichnen wir mit $F$ den Punkt, welcher in der Entfernung $\frac{3}{2}$ von $O$ auf der positiven $X$-Axe liegt.
Wir fassen nun die Gesamtheit aller Kreise ins Auge, welche die Ellipse in vier reellen — getrennten oder beliebig zusammenfallenden — Punkten schneiden, und suchen unter allen auf diesen Kreisen gelegenen Punkten denjenigen Punkt zu bestimmen, der
auf der positiven X-Axe am weitesten vom Nullpunkt entfernt
ist. Zu dem Zwecke gehen wir von einem beliebigen Kreise aus,
der die Ellipse in vier Punkten schneidet und die positive X-Axe im Punkte C treffen möge. Diesen Kreis denken wir uns dann um den Punkt C derart gedreht, dass zwei von den vier Schnittpunkten oder mehr in einen einzigen Punkt A zusammenfallen, während die übrigen reell bleiben. Der so entstehende Berührungskreis werde alsdann vergrössert derart, dass stets der Punkt A Berührungspunkt mit der Ellipse bleibt ; hierdurch gelangen wir notwendig zu einem Kreise , der die Ellipse entweder noch in einem anderen Punkte $B$ berührt oder in $A$ mit der Ellipse eine vierpunktige Berührung aufweist und der überdies die positive X-Axe in einem entfernteren Punkte als C trifft. Der gesuchte entfernteste Punkt wird sich demnach unter denjenigen Punkten befinden, die von den doppeltberührenden ausserhalb der Ellipse
verlaufenden Kreisen auf der positiven X-Axe ausgeschnitten werden. Die doppeltberührenden ausserhalb der Ellipse verlauzur $Y$-Axe symmetrisch. Es seien $a, b$ die Coordinaten irgend eines Punktes der Ellipse: dann lehrt eine leichte Rechnung, dass der in diesem Punkte berührende zur $Y$-Axe symmetrische Kreis auf der positiven $X$-Axe die Strecke
$$ x = |\sqrt{1 + 3b^2}| $$
abschneidet. Der grösstmögliche Wert dieses Ausdrucks tritt für $b = \frac{1}{2}$ ein und wird somit gleich $|\frac{1}{2}\sqrt{7}|$. Da der vorhin mit $F$ bezeichnete Punkt auf der $X$-Axe die Abscisse $\frac{3}{2} > |\frac{1}{2}\sqrt{7}|$ aufweist, so folgt, dass unter den die Ellipse viermal treffenden Kreisen sich gewiss keiner befindet, der durch den Punkt $F$ läuft.
Nunmehr stellen wir uns eine neue ebene Geometrie in folgender Weise her. Als Punkte der neuen Geometrie nehmen wir die Punkte der $XY$-Ebene; als Gerade der neuen Geometrie nehmen wir diejenigen Geraden der $XY$-Ebene unverändert, welche die feste Ellipse berühren oder gar nicht treffen; ist dagegen $g$ eine Gerade der $XY$-Ebene, die die Ellipse in zwei Punkten $P$
und Q trifft, so construiren wir durch P, Q und den festen Punkt F einen Kreis; dieser Kreis hat, wie aus dem oben Bewiesenen hervorgeht, keinen weiteren Punkt mit der Ellipse gemein. Wir denken uns nun an Stelle des zwischen P und Q innerhalb der Ellipse gelegenen Stückes der Geraden g denjenigen Bogen des eben construirten Kreises gesetzt, der zwischen P und Q innerhalb der Ellipse verläuft. Den Linienzug, welcher aus den beiden
von P und Q ausgehenden unendlichen Stücken der Geraden g und dem eben construirten Kreisbogen PQ besteht , nehmen wir als Gerade der neu herzustellenden Geometrie. Denken wir uns für alle Geraden der $XY$-Ebene die entsprechenden Linienzüge construirt, so entsteht ein System von Linienzügen, welche, als
Gerade einer Geometrie aufgefasst , offenbar den Axiomen 1 1 — 2 und III genügen. Bei Festsetzung der natürlichen Anordnung für die Punkte und Geraden in unserer neuen Geometrie erkennen wir unmittelbar, dass auch die Axiome II gültig sind.
Ferner nennen wir zwei Strecken $AB$ und $A'B'$ in unserer neuen Geometrie congruent, wenn der zwischen A und B verlaufende Linienzug die gleiche natürliche Länge hat, wie der zwischen A’ und B’ verlaufende Linienzug.
Endlich bedürfen wir einer Festsetzung betreffs der Congruenz der Winkel. Sobald keiner von den Scheiteln der zu vergleichenden Winkel auf der Ellipse liegt, nennen wir zwei Winkel einander congruent, wenn sie im gewöhnlichen Sinne einander gleich sind. Im anderen Falle treffen wir folgende Festsetzung. Es
mögen die Punkte $A, B, C$ in dieser Reihenfolge und die Punkte $A', B', C'$ in dieser Reihenfolge je auf einer Geraden unserer neuen Geometrie liegen; $D$ sei ein Punkt ausserhalb der Geraden $ABC$ und $D'$ ein Punkt ausserhalb der Geraden $A'B'C'$: dann mögen für die Winkel zwischen diesen Geraden in unserer neuen Geometrie die Congruenzen
$$ \angle ABD \equiv \angle A'B'D' \quad \text{und} \quad \angle CBD \equiv \angle C'B'D' $$
gelten, sobald für die natürlichen Winkel zwischen den entsprechenden Linienzügen in der gewöhnlichen Geometrie die Proportion
$$ \angle ABD : \angle CBD = \angle A'B'D' : \angle C'B'D' $$
erfüllt ist. Bei diesen Festsetzungen sind auch die Axiome IV 1–5 und V gültig.
Um einzusehen, dass in unserer neu hergestellten Geometrie der Desarguessche Satz nicht gilt, betrachten wir folgende drei gewöhnliche gerade Linien in der $XY$-Ebene: die $X$-Axe, die $Y$-Axe und die Gerade, welche die beiden Ellipsenpunkte $x = \frac{3}{5}, y = \frac{2}{5}$ und $x = -\frac{3}{5}, y = -\frac{2}{5}$ mit einander verbindet. Da
laufen, so können wir leicht zwei solche Dreiecke angeben, deren
Ecken bez. auf jenen drei Geraden liegen, deren entsprechende Seiten paarweise einander parallel laufen und die sämtlich ausserhalb der Ellipse gelegen sind. Da die Linienzüge , welche aus den genannten drei geraden Linien entspringen , sich , wie Figur 38
zeigt und wie man leicht durch Rechnung bestätigt, nicht in
einem Punkte treffen, so folgt, dass der Desarguessche Satz in der neuen ebenen Geometrie für die beiden vorhin construirten Dreiecke gewiss nicht gilt.
Die von uns hergestellte ebene Geometrie dient zugleich als Beispiel einer ebenen Geometrie , in welcher die Axiome 1 1 — 2, II — III, IV 1 — 5, V gültig sind, und die sich dennoch nicht als Teil einer räumlichen Geometrie auffassen lässt.
§ 24. Einführung einer Streckenrechnung ohne Hülfe der Congruenzaxiome auf Grund des Desarguesschen Satzes¶
Um die Bedeutung des Desarguesschen Satzes (Satz 32) vollständig zu erkennen, legen wir eine ebene Geometrie zu Grunde, in welcher die Axiome I 1 — 2, II — III, d. h. die sämtlichen ebenen Axiome der ersten drei Axiomgruppen gültig sind, und führen in diese Geometrie unabhängig von den Congruenzaxiomen auf folgende Weise eine neue Streckenrechnung ein.
Wir nehmen in der Ebene zwei feste Geraden an, die sich in dem Punkte 0 schneiden mögen, und rechnen im Folgenden nur mit solchen Strecken, deren Anfangspunkt 0 ist und deren Endpunkte auf einer dieser beiden festen Geraden liegen. Auch
den Punkt 0 allein bezeichnen wir als Strecke und nennen ihn dann die Strecke 0, in Zeichen
$$OO = 0 \quad \text{oder} \quad 0 = OO.$$
Es seien E und E’ je ein bestimmter Punkt auf den festen Geraden durch 0 ; dann bezeichnen wir die beiden Strecken OE und OE’ als die Strecken 1, in Zeichen :
$$OE = OE' = 1 \quad \text{oder} \quad 1 = OE = OE'.$$
Die Gerade EE’ nennen wir kurz die Einheitsgerade. Sind ferner A und A’ Punkte auf den Geraden OE bez. OE’ und läuft die Verbindungsgerade AA! parallel zu EE’, so nennen wir die Strecken OA und OA’ einander gleich, in Zeichen:
$$OA = OA' \quad \text{oder} \quad OA' = OA.$$
Um zunächst die Summe der Strecken a = OA und b = OB zu definiren, construire man AA’ parallel zur Einheitsgeraden EE’ und ziehe sodann durch A’ eine Parallele zu OE und durch B eine Parallele zu OE’. Diese beiden Parallelen mögen sich in A” schneiden. Endlich ziehe man durch A” zur Einheitsgeraden EE’ eine Parallele; dieselbe treffe die festen Geraden OE und
$OE'$ in $C$ und $C'$: dann heisse $c = OC = OC'$ die Summe der Strecke $a = OA$ mit der Strecke $b = OB$, in Zeichen:
$$ c = a + b \quad \text{oder} \quad a + b = c. $$
Um das Produkt einer Strecke a = OA in eine Strecke b = OB zu definiren, bedienen wir uns genau der in § 15 angegebenen Konstruktion, nur dass an Stelle der Schenkel des rechten Winkels hier die beiden festen Geraden OE und OE’ treten. Die Konstruktion ist demnach folgende. Man bestimme auf OE’ den Punkt A’, sodass AA’ parallel der Einheitsgeraden EE’ wird, verbinde E mit A’ und ziehe durch B eine Parallele zu EA’ ; trifft
diese Parallele die feste Gerade $OE'$ im Punkte $C'$, so heisst $c = OC'$ das Produkt der Strecke $a = OA$ in die Strecke $b = OB$, in Zeichen:
$$ c = ab \quad \text{oder} \quad ab = c. $$
§ 25. Das commutative und associative Gesetz der Addition in der neuen Streckenrechnung¶
Wir untersuchen jetzt, welche von den in §13 aufgestellten Rechnungsgesetzen für unsere neue Streckenrechnung gültig sind, wenn wir eine ebene Geometrie zu Grunde legen , in der die Axiome 1 1 — 2, II— III erfüllt sind und überdies der Desarguessche Satz gilt.
Vor Allem wollen wir beweisen, dass für die in § 24 definirte Addition der Strecken das commutative Gesetz
$$ a + b = b + a $$
gilt. Es sei
$$ a = OA = OA', \quad b = OB = OB', $$
wobei unserer Festsetzung entsprechend AA! und BB’ der Einheitsgeraden parallel sind. Nun construiren wir die Punkte A” und B”, indem wir A’A” sowie B’B” parallel OA und ferner AB” und BA” parallel OA’ ziehen; wie man sofort sieht, sagt dann unsere Behauptung aus, dass die Verbindungslinie A”B” parallel mit AA’ läuft. Die Richtigkeit dieser Behauptung erkennen wir auf Grund des Desarguesschen Satzes (Satz 32) wie folgt.
Wir bezeichnen den Schnittpunkt von $AB''$ und $A'A''$ mit $F$ und den Schnittpunkt von $BA''$ und $B'B''$ mit $D$; dann sind in den Dreiecken $AA'F$ und $BB'D$ die entsprechenden Seiten einander parallel. Mittelst des Desarguesschen Satzes schliessen wir hieraus, dass die drei Punkte $O, F, D$ in einer Geraden liegen. In Folge dieses Umstandes liegen die beiden Dreiecke $OAA'$ und $DB''A''$ derart, dass die Verbindungslinien entsprechender Ecken durch den nämlichen Punkt $F$ laufen und da überdies zwei Paare entsprechender Seiten, nämlich $OA$ und $DB''$ sowie $OA'$ und $DA''$ einander parallel sind, so laufen nach der zweiten Aussage des Desarguesschen Satzes (Satz 32) auch die dritten Seiten $AA'$ und $B''A''$ einander parallel.
Zum Beweise des associativen Gesetzes der Addition
$$ a + (b + c) = (a + b) + c $$
dient die Figur 42. Mit Berücksichtigung des eben bewiesenen commutativen Gesetzes der Addition spricht sich die obige Behauptung, wie man sieht, darin aus, dass die Gerade $A''B''$ parallel
der Einheitsgeraden verlaufen muss. Die Richtigkeit dieser Behauptung ist offenbar, da der schraffirte Teil der Figur 42 mit der Figur 41 genau übereinstimmt.
§ 26. Das associative Gesetz der Multiplikation und die beiden distributiven Gesetze in der neuen Streckenrechnung¶
Bei unseren Annahmen gilt auch für die Multiplikation der Strecken das associative Gesetz:
$$ a(bc) = (ab)c. $$
Es seien auf der ersteren der beiden festen Geraden durch $O$ die Strecken
$$ 1 = OA, \quad b = OC, \quad c = OA' $$
und auf der anderen Geraden die Strecken
$$ a = OG \quad \text{und} \quad b = OB $$
gegeben. Um gemäss der Vorschrift in § 24 der Reihe nach die Strecken
$$ bc = OB' \; \text{und} \; bc = OC', \quad ab = OD, \quad (ab)c = OD' $$
zu construiren, ziehen wir $A'B'$ parallel $AB$, $B'C'$ parallel $BC$, $CD$ parallel $AG$ sowie $A'D'$ parallel $AD$; wie wir sofort erkennen, läuft dann unsere Behauptung darauf hinaus, dass auch $CD$ parallel $C'D'$ sein muss. Bezeichnen wir nun den Schnittpunkt der Geraden $AD$ und $BC$ mit $F$ und den Schnittpunkt der Geraden $A'D'$ und $B'C'$ mit $F'$, so sind in den Dreiecken $ABF$ und $A'B'F'$ die entsprechenden Seiten einander parallel; nach dem Desarguesschen Satze liegen daher die drei Punkte $O, F, F'$ auf einer Geraden. Wegen dieses Umstandes können wir die zweite Aussage des Desarguesschen Satzes auf die beiden Dreiecke $CDF$ und $C'D'F'$ anwenden und erkennen hieraus, dass in der That $CD$ parallel $C'D'$ ist.
Wir beweisen endlich in unserer Streckenrechnung auf Grund des Desarguesschen Satzes die beiden distributiven Gesetze:
$$ a(b + c) = ab + ac \quad \text{und} \quad (a + b)c = ac + bc. $$
Zum Beweise des ersteren Gesetzes dient die Figur 44 [1]. In derselben ist
$$ b = OA', \quad c = OC', \quad ab = OB', \quad ab = OA'', \quad ac = OC'' \; \text{u. s. f.} $$
und es läuft
ferner ist $A'A''$ parallel $C'C''$ und
$$ A'B'' \; \text{parallel} \; B'A'' \; \text{parallel} \; F'D_2 \; \text{parallel} \; F''D_1. $$
Die Behauptung läuft darauf hinaus, dass dann auch
$$ F'F'' \; \text{parallel} \; A'A'' \; \text{und} \; C'C'' $$
sein muss.
Wir construiren folgende Hülfslinien:
die Schnittpunkte der Geraden $C''D_1$ und $C'D_2$, $C''D_1$ und $F'J$, $C'D_2$ und $F''J$ heissen $G, H_1, H_2$; endlich erhalten wir noch die weiteren in der Figur 44 punktirten Hülfslinien durch Verbindung bereits construirter Punkte.
In den beiden Dreiecken $A'B''C''$ und $F'D_2G$ laufen die Verbindungsgeraden entsprechender Ecken einander parallel; nach der zweiten Aussage des Desarguesschen Satzes folgt daher, dass
$$ A'C'' \; \text{parallel} \; F'G $$
sein muss. In den beiden Dreiecken $A'C''F''$ und $F'GH_2$ laufen ebenfalls die Verbindungsgeraden entsprechender Ecken einander parallel; wegen der vorhin gefundenen Thatsache folgt nach der zweiten Aussage des Desarguesschen Satzes, dass
$$ A'F'' \; \text{parallel} \; F'H_2 $$
sein muss. Da somit in den beiden wagerecht schraffirten Dreiecken $OA'F''$ und $JH_2F'$ die entsprechenden Seiten parallel sind, so lehrt der Desarguessche Satz, dass die drei Verbindungsgeraden
$$ OJ, \quad A'H_2, \quad F''F' $$
sich in einem und demselben Punkte, etwa in $P$, treffen.
Auf dieselbe Weise finden wir, dass auch
$$ A''F' \; \text{parallel} \; F''H_1 $$
sein muss und da somit in den beiden schräg schraffierten Dreiecken $OA''F'$ und $JH_1F''$ die entsprechenden Seiten parallel laufen, so treffen sich dem Desarguesschen Satze zufolge die drei Verbindungsgeraden
$$ OJ, \quad A''H_1, \quad F'F'' $$
ebenfalls in einem Punkte — dem Punkte $P$.
Nunmehr laufen für die Dreiecke $OA'A''$ und $JH_2H_1$ die Verbindungsgeraden entsprechender Ecken durch den nämlichen Punkt $P$, und mithin folgt, dass
$$ H_1H_2 \; \text{parallel} \; A'A'' $$
sein muss; mithin ist auch
$$ H_1H_2 \; \text{parallel} \; C'C''. $$
Endlich betrachten wir die Figur $F''H_2C'C''H_1F'F''$. Da in derselben
ausfällt, so erkennen wir hierin die Figur 41 wieder, die wir in § 25 zum Beweise für das commutative Gesetz der Addition benutzt haben. Die entsprechenden Schlüsse wie dort zeigen dann, dass
$$ F'F'' \; \text{parallel} \; H_1H_2 $$
sein muss und da mithin auch
$$ F'F'' \; \text{parallel} \; A'A'' $$
ausfällt, so ist der Beweis unserer Behauptung vollständig erbracht.
Zum Beweise der zweiten Formel des distributiven Gesetzes dient die völlig verschiedene Figur 45. In derselben ist
$$ 1 = OD, \quad a = OA, \quad a = OB, \quad b = OG, \quad c = OD', $$
$$ ac = OA', \quad ac = OB', \quad bc = OG' \; \text{u. s. f.} $$
und es läuft
und ferner
Die Behauptung läuft darauf hinaus, dass dann auch
$$ DJ \; \text{parallel} \; D'J' $$
sein muss.
Wir bezeichnen die Punkte, in denen $BD$ und $GD$ die Gerade $AH$ treffen, bez. mit $C$ und $F$ und ferner die Punkte, in denen $B'D'$ und $G'D'$ die Gerade $A'H'$ treffen, bez. mit $C'$ und $F'$; endlich ziehen wir noch die in der Figur 45 punktirten Hülfslinien $FJ$ und $F'J'$.
In den Dreiecken $ABC$ und $A'B'C'$ laufen die entsprechenden Seiten parallel; mithin liegen nach dem Desarguesschen Satze die drei Punkte $O, C, C'$ auf einer Geraden. Ebenso folgt dann aus der Betrachtung der Dreiecke $CDF$ und $C'D'F'$, dass $O, F, F'$ auf einer Geraden liegen, und die Betrachtung der Dreiecke $FGH$ und $F'G'H'$ lehrt, dass $O, H, H'$ Punkte einer Geraden sind. Nun laufen in den Dreiecken $FHJ$ und $F'H'J'$ die Verbindungsgeraden entsprechender Ecken durch den nämlichen Punkt $O$, und mithin sind zufolge der zweiten Aussage des Desarguesschen Satzes die Geraden $FJ$ und $F'J'$ einander parallel. Endlich zeigt dann die Betrachtung der Dreiecke $DFJ$ und $D'F'J'$, dass die Geraden $DJ$ und $D'J'$ einander parallel sind, und damit ist der Beweis unserer Behauptung vollständig erbracht.
§ 27. Die Gleichung der Geraden auf Grund der neuen Streckenrechnung¶
Wir haben in § 24 bis § 26 mittelst der in § 24 angeführten Axiome und unter Voraussetzung der Gültigkeit des Desarguesschen Satzes in der Ebene eine Streckenrechnung eingeführt , in welcher das commutative Gesetz der Addition, die associativen Gesetze der Addition und Multiplikation, sowie die beiden distributiven Gesetze gültig sind. Wir wollen in diesem Paragraphen
zeigen, in welcher Weise auf Grund dieser Streckenrechnung eine analytische Darstellung der Punkte und Geraden in der Ebene möglich ist.
Definition. Wir bezeichnen in der Ebene die beiden angenommenen festen Geraden durch den Punkt 0 als die X- und Y- Axe und denken uns irgend einen Punkt P der Ebene durch die Strecken x, y bestimmt, die man auf der X- bez. Y-Axe erhält, wenn man durch P zu diesen Axen Parallelen zieht. Diese Strecken x, y heissen Coordinaten des Punktes P. Auf Grund der neuen Streckenrechnung und mit Hülfe des Desarguesschen Satzes gelangen wir zu der folgenden Thatsache :
Satz 34. Die Coordinaten x, y der Punkte auf einer beliebigen Geraden erfüllen stets eine Streckengleichung von der Gestalt:
$$ ax + by + c = 0; $$
in dieser Gleichung stehen die Strecken $a, b$ notwendig linksseitig von den Coordinaten $x, y$; die Strecken $a, b$ sind niemals beide Null und $c$ ist eine beliebige Strecke.
Umgekehrt: jede Streckengleichung der beschriebenen Art stellt stets eine Gerade in der zu Grunde gelegten ebenen Geometrie dar.
Beweis. Wir nehmen zunächst an, die Gerade $l$ gehe durch $O$. Ferner sei $C$ ein bestimmter von $O$ verschiedener Punkt auf $l$ und $P$ ein beliebiger Punkt auf $l$; $C$ habe die Coordinaten $OA, OB$ und $P$ habe die Coordinaten $x, y$; wir bezeichnen die Verbindungsgerade der Endpunkte von $x, y$ mit $g$. Endlich ziehen wir durch den Endpunkt der Strecke $1$ auf der $X$-Axe eine Parallele $h$ zu $AB$: diese Parallele schneide auf der $Y$-Axe die Strecke $e$ ab. Aus der zweiten Aussage des Desarguesschen Satzes folgt leicht, dass die Gerade $g$ stets parallel zu $AB$ läuft. Da somit auch $g$ stets zu $h$ parallel ist, so folgt für die Coordinaten $x, y$ des beliebigen Punktes $P$ auf $l$ die Streckengleichung
$$ ex = y. $$
Nunmehr sei $l'$ eine beliebige Gerade in unserer Ebene; dieselbe schneide auf der $X$-Axe die Strecke $c = OO'$ ab. Wir ziehen ferner die Gerade $l$ durch $O$ parallel zu $l'$. Es sei $P'$ ein beliebiger Punkt auf $l'$; die Parallele durch $P'$ zur $X$-Axe treffe die Gerade $l$ in $P$ und schneide auf der $Y$-Axe die Strecke $y = OB$ ab; ferner mögen die Parallelen durch $P$ und $P'$ zur $Y$-Axe auf der $X$-Axe die Strecken $x = OA$ und $x' = OA'$ abschneiden.
Wir wollen nun beweisen, dass die Streckengleichung
$$ x' = x + c $$
besteht. Zu diesem Zwecke ziehen wir $O'C$ parallel zur Einheitsgeraden, ferner $CD$ parallel zur $X$-Axe und $AD$ parallel zur $Y$-Axe; dann läuft unsere Behauptung darauf hinaus, dass
$$ A'D \; \text{parallel} \; O'C $$
sein muss. Wir construiren noch $D'$ als Schnittpunkt der Geraden $CD$ und $A'P'$ und ziehen $O'C'$ parallel zur $Y$-Axe.
Da in den Dreiecken $OCP$ und $O'C'P'$ die Verbindungsgeraden entsprechender Ecken parallel laufen, so folgt mittelst der zweiten Aussage des Desarguesschen Satzes, dass
$$ CP \; \text{parallel} \; C'P' $$
sein muss; auf gleiche Weise lehrt die Betrachtung der Dreiecke $ACP$ und $A'C'P'$, dass
$$ AC \; \text{parallel} \; A'C' $$
ist. Da somit in den Dreiecken $ACD$ und $C'A'O'$ die entsprechenden Seiten einander parallel laufen, so treffen sich die Geraden $AC', C'A, DO'$ in einem Punkte und die Betrachtung der beiden Dreiecke $C'A'D$ und $ACO'$ zeigt dann, dass $A'D$ und $CO'$ einander parallel sind.
Aus den beiden bisher gefundenen Streckengleichungen
$$ ex = y \quad \text{und} \quad x' = x + c $$
folgt sofort die weitere Gleichung
$$ ex' = y + ec. $$
Bezeichnen wir schliesslich mit $n$ die Strecke, die zur Strecke $1$ addirt die Strecke $0$ liefert, so folgt, wie man leicht beweist, aus der letzten Gleichung
$$ ex' + ny + nec = 0 $$
und diese Gleichung ist von der Gestalt, wie der Satz 34 behauptet.
Die zweite Aussage des Satzes 34 erkennen wir nun ohne Mühe als richtig; denn eine jede vorgelegte Streckengleichung
$$ ax + by + c = 0 $$
lässt sich offenbar durch linksseitige Multiplikation mit einer geeigneten Strecke in die vorhin gefundene Gestalt
$$ ex + ny + nec = 0 $$
bringen.
Es sei noch ausdrücklich bemerkt, dass bei unseren Annahmen eine Streckengleichung von der Gestalt
$$ xa + yb + c = 0, $$
in der die Strecken $a, b$ rechtsseitig von den Coordinaten $x, y$ stehen, im Allgemeinen nicht eine Gerade darstellt.
Wir werden in § 30 eine wichtige Anwendung von dem Satze 34 machen.
§ 28. Der Inbegriff der Strecken aufgefasst als complexes Zahlensystem¶
Wir sehen unmittelbar ein, dass für unsere neue in § 24 begründete Streckenrechnung die Sätze 1—6 in § 13 erfüllt sind.
Ferner haben wir in § 25 und § 26 mit Hülfe des Desarguesschen Satzes erkannt, dass für diese Streckenrechnung die Rechnungsgesetze 7 — 11 in §13 gültig sind; es bestehen somit sämtliche Sätze der Verknüpfung, abgesehen vom commutativen Gesetze der Multiplikation.
Um endlich eine Anordnung der Strecken zu ermöglichen, treffen wir folgende Festsetzung. Es seien A, B irgend zwei verschiedene Punkte der Geraden OE; dann bringen wir gemäss Axiom II 4 die vier Punkte 0, E, A, B in eine Reihenfolge. Ist dies auf eine der folgenden sechs Arten $$ ABOE, \quad AOBE, \quad AOEB, \quad OABE, \quad OAEB, \quad OEAB $$
möglich, so nennen wir die Strecke $a = OA$ kleiner als die Strecke $b = OB$, in Zeichen:
$$ a < b. $$
Findet dagegen eine der sechs Reihenfolgen
$$ BAOE, \quad BOAE, \quad BOEA, \quad OBAE, \quad OBEA, \quad OEBA $$
statt, so nennen wir die Strecke $a = OA$ grösser als die Strecke $b = OB$, in Zeichen
$$ a > b. $$
Diese Festsetzung bleibt auch in Kraft , wenn A oder B mit 0 oder E zusammenfallen, nur dass dann die zusammenfallenden Punkte als ein einziger Punkt anzusehen sind und somit lediglich die Anordnung dreier Punkte in Frage kommt.
Wir erkennen leicht , dass nunmehr in unserer Streckenrechnung auf Grund der Axiome II die Rechnungsgesetze 13 — 16 in § 13 erfüllt sind ; somit bildet die Gesamtheit aller verschiedenen Strecken ein complexes Zahlensystem, für welches die Gesetze 1—11, 13 — 16 in §13, d.h. die sämtlichen Vorschriften ausser dem commutativen Gesetze der Multiplikation und dem Archimedischen Satze gewiss gültig sind; wir bezeichnen ein solches Zahlensystem im Folgenden kurz als ein Desarguessches Zahlensystem.
§ 29. Aufbau einer räumlichen Geometrie mit Hülfe eines Desarguesschen Zahlensystems¶
Es sei nun irgend ein Desarguessches Zahlensystem D vorgelegt; dasselbe ermöglicht uns den Aufbau einer räumliehen Geometrie, in der die Axiome I, II, III sämtlich erfüllt sind.
Um dies einzusehen, denken wir uns das System von irgend drei Zahlen $(x, y, z)$ des Desarguesschen Zahlensystems $D$ als einen Punkt und das System von irgend vier Zahlen $(u : v : w : r)$ in $D$, von denen die ersten drei Zahlen nicht zugleich $0$ sind, als eine Ebene; doch sollen die Systeme $(u : v : w : r)$ und $(au : av : aw : ar)$, wo $a$ irgend eine von $0$ verschiedene Zahl in $D$ bedeutet, die nämliche Ebene darstellen. Das Bestehen der Gleichung
$$ ux + vy + wz + r = 0 $$
möge ausdrücken, dass der Punkt $(x, y, z)$ auf der Ebene $(u : v : w : r)$ liegt. Die Gerade endlich definiren wir mit Hülfe eines Systems zweier Ebenen $(u' : v' : w' : r')$ und $(u'' : v'' : w'' : r'')$, wenn es nicht möglich ist, zwei von $0$ verschiedene Zahlen $a', a''$ in $D$ zu finden, sodass gleichzeitig
$$ a'u' = a''u'', \quad a'v' = a''v'', \quad a'w' = a''w'' $$
wird. Ein Punkt $(x, y, z)$ heisst auf dieser Geraden $[(u' : v' : w' : r'), (u'' : v'' : w'' : r'')]$ gelegen, wenn er den beiden Ebenen $(u' : v' : w' : r')$ und $(u'' : v'' : w'' : r'')$ gemeinsam ist. Zwei Gerade, welche dieselben Punkte enthalten, gelten als nicht verschieden.
Indem wir die Rechnungsgesetze 1–11 in § 13 anwenden, die nach Voraussetzung für die Zahlen in $D$ gelten sollen, gelangen wir ohne Schwierigkeit zu dem Resultate, dass in der soeben aufgestellten räumlichen Geometrie die Axiome I und III sämtlich erfüllt sind.
Damit auch den Axiomen II der Anordnung Genüge geschehe, treffen wir folgende Festsetzungen. Es seien
$$ (x_1, y_1, z_1), \quad (x_2, y_2, z_2), \quad (x_3, y_3, z_3) $$
irgend drei Punkte einer Geraden
$$ [(u' : v' : w' : r'), \; (u'' : v'' : w'' : r'')]; $$
dann heisse der Punkt $(x_2, y_2, z_2)$ zwischen den beiden anderen gelegen, wenn wenigstens eine der sechs Doppelungleichungen
$$ \begin{aligned} (1)\quad x_1 &< x_2 < x_3, & x_1 &> x_2 > x_3, \\ (2)\quad y_1 &< y_2 < y_3, & y_1 &> y_2 > y_3, \\ (3)\quad z_1 &< z_2 < z_3, & z_1 &> z_2 > z_3 \end{aligned} $$
erfüllt ist. Besteht nun etwa eine der beiden Doppelungleichungen (1), so schliessen wir leicht, dass entweder $y_1 = y_2 = y_3$ oder notwendig eine der beiden Doppelungleichungen (2) und ebenso dass entweder $z_1 = z_2 = z_3$ oder eine der Doppelungleichungen (3) gelten muss. In der That, aus den Gleichungen
$$ \begin{aligned} u'x_i + v'y_i + w'z_i + r' &= 0, \\ u''x_i + v''y_i + w''z_i + r'' &= 0 \qquad (i = 1, 2, 3) \end{aligned} $$
leiten wir durch linksseitige Multiplikation derselben mit geeigneten Zahlen aus $D$ und durch nachherige Addition der entstehenden Gleichungen ein Gleichungssystem von der Gestalt
$$ (4)\quad u'''x_i + v'''y_i + r''' = 0 \qquad (i = 1, 2, 3) $$
ab. Hierin ist der Coefficient $v'''$ sicher nicht $0$, da sonst die Gleichheit der drei Zahlen $x_1, x_2, x_3$ folgen würde. Aus
$$ x_1 \lesseqgtr x_2 \lesseqgtr x_3 $$
schliessen wir
$$ u'''x_1 \gtreqless u'''x_2 \gtreqless u'''x_3 $$
und mithin wegen (4)
$$ v'''y_1 + r''' \lesseqgtr v'''y_2 + r''' \lesseqgtr v'''y_3 + r''' $$
und daher
$$ v'''y_1 \lesseqgtr v'''y_2 \lesseqgtr v'''y_3, $$
und da $v'''$ nicht $0$ ist, so haben wir
$$ y_1 \lesseqgtr y_2 \lesseqgtr y_3; $$
in jeder dieser Doppelungleichungen soll stets entweder durchweg das obere oder durchweg das mittlere oder durchweg das untere Zeichen gelten.
Die angestellten Ueberlegungen lassen erkennen, dass in unserer Geometrie die linearen Axiome II 1–4 der Anordnung zutreffen. Es bleibt noch zu zeigen übrig, dass in unserer Geometrie auch das ebene Axiom II 5 gültig ist.
Zu dem Zwecke sei eine Ebene $(u : v : w : r)$ und in ihr eine Gerade $[(u : v : w : r), (u' : v' : w' : r')]$ gegeben. Wir setzen fest, dass alle in der Ebene $(u : v : w : r)$ gelegenen Punkte $(x, y, z)$, für die der Ausdruck $u'x + v'y + w'z + r'$ kleiner oder grösser als $0$ ausfällt, auf der einen bez. auf der anderen Seite von jener Geraden gelegen sein sollen, und haben dann zu beweisen, dass diese Festsetzung sich mit der vorigen in Uebereinstimmung befindet, was leicht geschehen kann.
Damit haben wir erkannt, dass die sämtlichen Axiome I, II, III in derjenigen räumlichen Geometrie erfüllt sind, die in der oben geschilderten Weise aus dem Desarguesschen Zahlensystem D entspringt. Bedenken wir, dass der Desarguessche Satz eine Folge der Axiome I, II, III ist, so sehen wir, dass die eben gefundene Thatsache die genaue Umkehrung desjenigen Ergebnisses darstellt, zu dem wir in § 28 gelangt sind.
§ 30. Die Bedeutung des Desarguesschen Satzes¶
Wenn in einer ebenen Geometrie die Axiome I 1 — 2, II, III erfüllt sind und überdies der Desarguessche Satz gilt, so ist es
nach § 24 — § 28 in dieser Geometrie stets möglich, eine Streckenrechnung einzuführen, für die die Regeln 1 — 11, 13 — 16 in § 13 anwendbar sind. Wir betrachten nun weiter den Inbegriff dieser Strecken als ein complexes Zahlensystem und bauen aus denselben nach den Entwickelungen in § 29 eine räumliche Geometrie auf, in der sämtliche Axiome I, II, III gültig sind.
Fassen wir in dieser räumlichen Geometrie lediglich die Punkte (x, y, 0) und diejenigen Geraden ins Auge , auf denen nur solche Punkte liegen , so entsteht eine ebene Geometrie, und wenn wir die in § 27 abgeleitete Thatsache berücksichtigen, so leuchtet ein, dass diese ebene Geometrie genau mit der zu Anfang vorgelegten ebenen Geometrie übereinstimmen muss. Damit gewinnen wir folgenden Satz, der als das Endziel der gesamten Entwickelungen dieses Kapitels V anzusehen ist :
Satz 35. Es seien in einer ebenen Geometrie die Axiome I 1–2, II, III erfüllt: dann ist die Gültigkeit des Desarguesschen Satzes die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass diese ebene Geometrie sich auffassen lässt als ein Teil einer räumlichen Geometrie, in welcher die sämtlichen Axiome I, II, III erfüllt sind.
Der Desarguessche Satz kennzeichnet sich so gewissermassen für die ebene Geometrie als das Resultat der Elimination der räumlichen Axiome.
Die gefundenen Resultate setzen uns auch in den Stand zu erkennen , dass jede räumliche Geometrie , in der die Axiome I, II, III sämtlich erfüllt sind, sich stets als ein Teil einer „Geometrie von beliebig vielen Dimensionen“ auffassen lässt; dabei ist
unter einer Geometrie von beliebig vielen Dimensionen eine Gesamtheit von Punkten, Geraden, Ebenen und noch weiteren linearen Elementen zu verstehen , für welche die entsprechenden Axiome der Verknüpfung und Anordnung sowie das Parallelenaxiom erfüllt sind.
Fussnoten