Ὅροι, Κατοπτρικὰ & Περὶ Διόπτρας — Ἑλληνικὸν Κείμενον¶
Ὅροι τῶν Γεωμετρίας Ὀνομάτων (Hultsch 1864 / Heiberg 1912) · Κατοπτρικῶν Ἀπόσπασμα Ὀλυμπιοδώρου (Schmidt 1900, pp. 368–372) · Περὶ Διόπτρας Κεφ. ιε΄ (Schöne 1903, pp. 238–240)
Note
Greek Source Track: Public-domain critical Greek texts established by Friedrich Hultsch (1864, collated with J. L. Heiberg 1912), Wilhelm Schmidt (Teubner 1900), and Hermann Schöne (Teubner 1903), verified directly against 300 DPI archival page scans.
Α΄. Ἥρωνος Ὅροι τῶν Γεωμετρίας Ὀνομάτων (Ἐκλογαί)¶
α΄. Σημεῖον (Heiberg §1 / Hultsch p. 7 §1–2): Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν, ἢ πέρας ἀδιάστατον ἢ ὅρος γραμμῆς, ἀσώματον καὶ ἀμερὲς καὶ ἀμέγεθες, θέσιν μόνην ἔχον, νοητῇ μόνῃ ἐπιβολῇ καταληπτόν.
β΄. Γραμμή (Heiberg §2 / Hultsch p. 7 §3): Γραμμή ἐστι μῆκος ἀπλατὲς ἢ τὸ πρῶτον ἐν μεγέθει ὑπόστασιν λαμβάνον ἢ τὸ καθʼ ἓν διαστατὸν καὶ διαιρετόν· γίνεται δὲ σημείου ῥυέντος ἄνωθεν κάτω ἐννοίᾳ τοῦ συνεχοῦς, περιορίζεται δὲ ὑπὸ σημείων αὐτὴ οὖσα ἐπιφανείας πέρας.
δ΄. Εὐθεῖα γραμμή (Heiberg §4 / Hultsch p. 8 §5): Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφʼ ἑαυτῆς σημείοις κεῖται ὀρθὴ οὖσα καὶ οἷον ἐπὶ τὰ πέρατα τεταμένη, ἢ γραμμὴ ἐλαχίστη τῶν τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχουσῶν, ἢ ἥτις τῶν περάτων μενόντων αὐτὴ ὥσπερ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ στρεφομένη περὶ τὰ πέρατα ὡς περὶ πόλους ἀεὶ τὸν αὐτὸν ἐπέχει τόπον· πᾶσαι γὰρ αἱ τῆς εὐθείας μέρη ταῖς ἴσαις ἐφαρμόζει.
κζ΄ [Hultsch κθ΄]. Κύκλος (Heiberg §27 / Hultsch p. 15 §29): Κύκλος ἐστὶ σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς περιεχόμενον, ἣ καλεῖται περιφέρεια, πρὸς ἣν ἀφʼ ἑνὸς σημείου τῶν ἐντὸς τοῦ σχήματος κειμένων πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. γίνεται δὲ κύκλος, ὅταν εὐθείας μενούσης ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ τὸ μὲν ἓν πέρας μένῃ ἀκίνητον, τὸ δὲ ἕτερον κινούμενον περιενεχθῇ, ἕως ἂν εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι· τὸ μὲν οὖν μένον πέρας κέντρον καλεῖται, ἡ δὲ ὑπὸ τοῦ ἑτέρου πέρατος γραφεῖσα γραμμὴ περιφέρεια.
νη΄ [Hultsch νθ΄]. Καθόλου Γνώμων (Heiberg §58 / Hultsch p. 21 §59): Γνώμων δέ ἐστι κυρίως μὲν ἐν παραλληλογράμμῳ χωρίῳ ἓν ὁποιονοῦν τῶν περὶ τὴν διάμετρον παραλληλογράμμων σὺν τοῖς δυσὶ παραπληρώμασιν· καθόλου δὲ γνώμων ἐστὶ πᾶν ὃ προσλαβὸν ὁτιοῦν, ἀριθμὸν ἢ σχῆμα, ποιεῖ τὸ ὅλον ὅμοιον ᾧ προσείληφεν.
ξζ΄ [Hultsch ξη΄]. Διάμετρος / Διαγώνιος (Heiberg §67 / Hultsch p. 22 §68): Διάμετρος δὲ εὐθυγράμμου καὶ τετραπλεύρου καὶ πολυγώνου ἐστὶν ἡ ἀπὸ γωνίας ἐπὶ τὴν ἀπεναντίον γωνίαν ἀγομένη εὐθεῖα· καλεῖται δὲ ἡ αὐτὴ καὶ διαγώνιος.
οϛ΄ [Hultsch οζ΄]. Σφαῖρα (Heiberg §76 / Hultsch p. 23 §77): Σφαῖρά ἐστι σχῆμα στερεὸν ὑπὸ μιᾶς ἐπιφανείας περιεχόμενον, πρὸς ἣν ἀφʼ ἑνὸς σημείου τῶν ἐντὸς τοῦ σχήματος κειμένων πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· ἢ ὅταν ἡμικυκλίου μενούσης τῆς διαμέτρου περιενεχθὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, τὸ περιληφθὲν σχῆμα σφαῖρά ἐστιν.
Β΄. Ἥρωνος Κατοπτρικά — Διʼ Ἐλαχίστων Ἀνάκλασις (Schmidt 1900, pp. 368–372)¶
Πρὸς ἴσας γὰρ γωνίας ἑαυταῖς κλῶνται αἱ εὐθεῖαι αἱ ἀπὸ τῆς ὄψεως πρὸς τὰ κάτοπτρα καὶ τὰ ὁρώμενα φερόμεναι. διὰ τί οὖν μὴ καὶ πρὸς ἀνίσους γωνίας κλῶνται; ἐροῦμεν οὖν πρὸς τοῦτο, ὅτι ἡ φύσις οὐδὲν μάτην ἐργάζεται οὐδὲ ματαιοπονεῖ· εἰ δὲ μὴ βούλεται ματαιοπονεῖν, εὔδηλον ὅτι διʼ ἐλαχίστων ὁρᾷ καὶ οὐ διὰ μακρῶν περιόδων. ἐλαχίστων δὲ οὐσῶν τῶν πρὸς ἴσας γωνίας κλωμένων εὐθειῶν τῶν πρὸς ἀνίσους γωνίας κλωμένων εὐθειῶν, διὰ τοῦτο πρὸς ἴσας γωνίας ἡ ἀνάκλασις γίνεται, καὶ οὐ πρὸς ἀνίσους.
Ὅτι δὲ ἐλάττους εἰσὶν αἱ πρὸς ἴσας γωνίας κλώμεναι εὐθεῖαι τῶν πρὸς ἀνίσους γωνίας κλωμένων εὐθειῶν, δείκνυσιν Ἥρων ὁ μηχανικὸς ἐν τοῖς αὑτοῦ Κατοπτρικοῖς καὶ ὁ Πτολεμαῖος ἐν τοῖς Ὀπτικοῖς τοῦτον τὸν τρόπον.
Ἔστω γὰρ κάτοπτρον ἐπίπεδον τὸ ΑΒ, ὄψις δὲ τὸ Γ, ὁρώμενον δὲ τὸ Δ· καὶ προσπιπτέτω ἀπὸ τῆς ὄψεως, ἤγουν τοῦ Γ, ἐπὶ τὸ Ε σημεῖον τοῦ κατόπτρου ἡ ΓΕ, καὶ ἀνακλάσθω ἐπὶ τὸ ὁρώμενον τὸ Δ ἡ ΕΔ ποιοῦσα ἴσην γωνίαν τὴν πρὸς τῷ Α τῇ πρὸς τῷ Β. πάλιν δὲ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ Γ προσπιπτέτω ἐπὶ τὸ Ζ σημεῖον τοῦ κατόπτρου ἡ ΓΖ, καὶ ἀνακλάσθω ἐπὶ τὸ αὐτὸ ὁρώμενον τὸ Δ ἡ ΖΔ ποιοῦσα ἄνισον γωνίαν τὴν πρὸς τῷ Α τῇ πρὸς τῷ Β. λέγω ὅτι ἐλάττους εἰσὶν αἱ πρὸς ἴσας γωνίας ἀνακλώμεναι εὐθεῖαι, ἤγουν αἱ ΓΕ, ΕΔ, τῶν πρὸς ἀνίσους γωνίας ἀνακλωμένων εὐθειῶν, ἤγουν τῶν ΓΖ, ΖΔ.
Ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ ΑΒ κάτοπτρον κάθετος ἡ ΔΗ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπʼ εὐθείας μέχρι τοῦ Κ, ὥστε ἴσην εἶναι τὴν ΗΚ τῇ ΔΗ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΚ, ΖΚ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΔΗ τῇ ΗΚ καὶ ὀρθαὶ αἱ πρὸς τῷ Η γωνίαι, κοινὴ δὲ πλευρὰ ἡ ΕΗ, δύο δὴ αἱ ΔΗ, ΗΕ δυσὶ ταῖς ΚΗ, ΗΕ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΗΕ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΚΗΕ ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΕΔ βάσει τῇ ΕΚ ἴση ἐστίν, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΕΗ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΚΕΗ ἴση. ἀλλὰ μὴν ἡ ὑπὸ ΔΕΗ τῇ ὑπὸ ΓΕΑ ἐστὶν ἴση διὰ τὴν ὑπόθεσιν· καὶ ἡ ὑπὸ ΓΕΑ ἄρα τῇ ὑπὸ ΚΕΗ ἐστὶν ἴση· κατὰ κορυφὴν ἄρα εἰσίν, ὥστε μία ἐστὶν εὐθεῖα ἡ ΓΕΚ.
Πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΗ τῇ ΗΚ, κοινὴ δὲ ἡ ΖΗ καὶ ὀρθαὶ αἱ πρὸς τῷ Η γωνίαι, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ΖΔ τῇ ΖΚ. ἐπεὶ οὖν παντὸς τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντη μεταλαμβανόμεναι, τοῦ ΓΖΚ ἄρα τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ αἱ ΓΖ, ΖΚ μείζονές εἰσι τῆς ΓΚ. ἀλλὰ τῇ μὲν ΖΚ ἴση ἐστὶν ἡ ΖΔ, τῇ δὲ ΓΚ ἴσαι εἰσὶν αἱ ΓΕ, ΕΔ, ἐπειδὴ ἡ ΕΚ τῇ ΕΔ ἐδείχθη ἴση. αἱ ΓΖ, ΖΔ ἄρα τῶν ΓΕ, ΕΔ μείζονές εἰσιν· ἐλάττους ἄρα αἱ πρὸς ἴσας γωνίας ἀνακλώμεναι εὐθεῖαι τῶν πρὸς ἀνίσους. ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
Γ΄. Ἥρωνος Περὶ Διόπτρας Κεφ. ιε΄ — Ὄρος Διορύξαι (Schöne 1903, pp. 238–240)¶
ιε΄. Ὄρος διορύξαι ἐπʼ εὐθείας τῶν στομίων τοῦ ὀρύγματος ἐπὶ τοῦ ὄρους δοθέντων.
Ἔστω ἡ μὲν τοῦ ὄρους ῥίζα ἡ ΑΒΓΔ γραμμή, τὰ δὲ στόμια, διʼ ὧν δεῖ διορύξαι, τὰ Β, Δ· καὶ ἤχθω τις ἀπὸ τοῦ Β τυχοῦσα εὐθεῖα ἐπὶ τῶν ὑποκειμένων χωρίων ἡ ΒΕ διὰ τῆς διόπτρας, ἀπὸ δὲ τυχόντος ἐπʼ αὐτῆς σημείου τοῦ Ε πρὸς ὀρθὰς αὐτῇ ἤχθω διὰ τῆς διόπτρας ἡ ΕΖ, καὶ ἔτι ἀπὸ τυχόντος τοῦ Ζ τῇ ΕΖ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω διὰ τῆς διόπτρας ἡ ΖΗ, καὶ ἔτι ἀπὸ τυχόντος τοῦ Η πρὸς ὀρθὰς ἤχθω τῇ ΗΖ ἡ ΗΘ, καὶ ἀπὸ τοῦ Θ τῇ ΗΘ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΘΚ, καὶ ἔτι τῇ ΚΘ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΚΛ· καὶ κινείσθω ἡ διόπτρα ἐπὶ τῆς ΘΚ εὐθείας ἀεὶ πρὸς ὀρθὰς διαφυλάσσουσα τὰς διόπτρας τῇ ΚΘ, ἄχρι ἂν φανῇ διʼ αὐτῆς τὸ Δ σημεῖον.
Πεφηνέτω οὖν οὔσης τῆς διόπτρας κατὰ τὸ Μ σημεῖον· ἔσται ἄρα ἡ ΜΔ ἐπὶ τὴν ΘΚ κάθετος, τουτέστι παράλληλος ταῖς ΒΕ, ΖΗ. μετρηθήτω οὖν ἑκάστη τῶν ΒΕ, ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΜ, ΜΔ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ μὲν ΕΒ ἐπὶ τὸ Ν, ἀπὸ δὲ τοῦ Δ ἐπὶ τὴν ΒΝ κάθετος ἐπινοείσθω ἡ ΔΝ. ἐκ δὴ τῶν μεμετρημένων παρὰ μὲν τὴν ΒΕ εὐθεῖαν ἔσται ἡ ΒΝ φανερὰ ὅσων ἐστὶ μονάδων, παρὰ δὲ τὴν ΕΖ φανερὰ ἔσται καὶ ἡ ΔΝ ὅσων ἐστὶ μονάδων· ὑπεροχαὶ γὰρ λαμβάνονται τῶν τε παρὰ τὴν ΒΕ καὶ τῶν παρὰ τὴν ΕΖ.
Ἐπενοήθη δὴ ἐπεζευγμένη ἡ ΒΔ· ἔσται ἄρα ὀρθογώνιον τρίγωνον τὸ ΒΔΝ, οὗ δοθεῖσά ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΒΝ, ΝΔ. προεκβεβλήσθω δὴ τῆς ΒΝ ἐπʼ εὐθείας ἡ ΒΟ καὶ τυχὸν εἰλήφθω ἐπʼ αὐτῆς σημεῖον τὸ Ο, καὶ τῇ ΟΒ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΟΞ οὕτως ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΒΝ πρὸς ΝΔ, τὴν ΒΟ πρὸς ΟΞ· καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΞ. φανερὸν δὴ ὅτι ἐπʼ εὐθείας εἰσὶν αἱ ΞΒ, ΒΔ διὰ τὸ ὅμοια γίνεσθαι τὰ ΒΔΝ, ΒΞΟ τρίγωνα. ὁμοίως δὴ ἐκβεβλήσθω ἡ ΜΔ ἐπὶ τὸ Π, καὶ τῇ ΔΠ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΠΡ, καὶ ὡς ἡ ΒΝ πρὸς ΝΔ, γενέσθω ἡ ΔΠ πρὸς ΠΡ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΡ· φανερὸν δὴ πάλιν ὅτι αἱ ΒΔ, ΔΡ ἐπʼ εὐθείας εἰσίν. ὀρύξομεν οὖν ἀπὸ μὲν τοῦ Β στομίου ἐπʼ εὐθείας τῇ ΞΒ κανόνας παραβάλλοντες ἐπὶ τὴν ΞΒ τῷ ὑπολειπομένῳ μέρει αὐτοῦ κατακολουθοῦντες, ἀπὸ δὲ τοῦ Δ ὁμοίως ἐπʼ εὐθείας τῇ ΔΡ· καὶ οὕτως ὑπαντήσουσιν ἀλλήλοις οἱ ἐργαζόμενοι τοῦ ὀρύγματος γινομένου κατὰ τὴν ΒΔ εὐθεῖαν. ἐὰν δὲ ᾖ τὸ ὄρυγμα ὑπόνομος, καὶ φρέατα ἐμβληθήσεται ἐπὶ τοῦ ὄρους λοξοτομηθέντος τοῦ ὄρους κατὰ τὴν ὑποκειμένην εὐθεῖαν.