Metrica Book I (Preface & Props. 1–9) — Ελληνικό Κείμενο (Schöne 1903)¶
Heronis Alexandrini Opera quae supersunt omnia, Vol. III: Rationes dimetiendi et Commentatio dioptrica, ed. Hermann Schöne (Leipzig: B. G. Teubner, 1903, pp. 2–26; Codex Constantinopolitanus Palatii Veteris 1, fols. 67r–72r). Transcribed directly from 300 DPI page scans.
ΗΡΩΝΟΣ ΜΕΤΡΙΚΩΝ Α — ΠΡΟΟΙΜΙΟΝ¶
Ἡ πρώτη γεωμετρία, καθὼς ὁ παλαιὸς ἡμᾶς διδάσκει λόγος, περὶ τὰς ἐν Αἰγύπτῳ τῶν χωρίων μετρήσεις τε καὶ διανομὰς ἠσχολεῖτο· ὅθεν καὶ γεωμετρία ἐκλήθη. τοῦ δὲ πράγματος τὴν ἐπίνοιαν τοῖς ἀνθρώποις ἡ χρεία παρεσκεύασεν· τοῦ γὰρ Νείλου τὰ κατʼ Αἴγυπτον πεδία ἐπικλύζοντος κατʼ ἔτος καὶ τά τε ὅρια συγχέοντος καὶ πολλὰ τῶν χωρίων παραιρουμένου, τινὰ δὲ προσχώμασι αὔξοντος συνέβαινεν τῶν μὲν ἐλαττοῦσθαι τὰς κτήσεις, τῶν δὲ πλείονας γίγνεσθαι, ὥστε μηκέτι δύνασθαι τὸ ἴσον ἕκαστον ἀπολαμβάνειν ἄνευ μεθόδου τινὸς ἀκριβοῦς.
Ἐπινοηθείσης δὲ τῆς τῶν χωρίων μετρήσεως οὐ μόνον ἐν Αἰγύπτῳ χρήσιμον ἐφάνη τὸ θεώρημα, ἀλλὰ καὶ πανταχοῦ, καὶ ἔτι μᾶλλον προϊούσης τῆς πραγματείας οὐ μόνον ἐπίπεδα χωρία μετρεῖν ἐπεχείρησαν, ἀλλὰ καὶ στερεὰ σώματα· πολλὴ γὰρ καὶ ἐν τούτοις εὑρίσκετο χρεία πρός τε οἰκοδομίας καὶ κατασκευὰς ὀργάνων καὶ ἀγγείων χωρήσεις.
Ἐπεὶ οὖν πᾶν μέγεθος συνεχὲς μετρεῖται μέτρῳ τινὶ ὡρισμένῳ ὁμογενεῖ τῷ μετρουμένῳ — γραμμὴ μὲν γὰρ γραμμῇ μετρεῖται τῇ λεγομένῃ πήχει ἢ ποδὶ ἢ παλαιστῇ ἢ δακτύλῳ, ἐπιφάνεια δὲ ἐπιφανείᾳ τετραγώνῳ ἰσοπλεύρῳ τε καὶ ὀρθογωνίῳ, στερεὸν δὲ σῶμα στερεῷ κύβῳ — ἀναγκαῖον ὑπελάβομεν τά τε ὑπὸ τῶν πρὸ ἡμῶν γεγραμμένα χρήσιμα συναγαγεῖν καὶ ὅσα αὐτοὶ προσεπενοήσαμεν ἐν τρισὶ συντάξαι βιβλίοις· ἐν μὲν τῷ πρώτῳ τὰς τῶν ἐπιπέδων μετρήσεις εὐθυγράμμων τε καὶ περιφερῶν, ἐν δὲ τῷ δευτέρῳ τὰς τῶν στερεῶν, ἐν δὲ τῷ τρίτῳ τὰς τῶν χωρίων καὶ στερεῶν διαιρέσεις εἰς τοὺς διδομένους λόγους.
ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ α΄–ζ΄ (Ἐπίπεδα Ἑτερομήκη καὶ Τρίγωνα διὰ Καθέτου)¶
Σύνοψις τῶν α΄–ζ΄ (Schöne σσ. 6–18)· α΄. Ἑτερομήκους ὀρθογωνίου χωρίου μέτρησις (\(5 \times 3 = 15\)). β΄. Τριγώνου ὀρθογωνίου μέτρησις (\(3, 4, 5 \implies 6\)). γ΄. Τριγώνου ἰσοσκελοῦς μέτρησις (\(10, 10, 12 \implies \text{κάθετος } 8, \text{ ἐμβαδὸν } 48\)). δ΄–ζ΄. Διάκρισις ὀξυγωνίου καὶ ἀμβλυγωνίου σκαληνοῦ τριγώνου ([II.13], [II.12]) καὶ εὕρεσις τῆς καθέτου ἐπὶ τοῦ \((13, 14, 15)\) (\(\text{κάθετος } 12, \text{ ἐμβαδὸν } 84\)) καὶ ἐπὶ τοῦ ἀμβλυγωνίου (\(13, 11, 20 \implies \text{ἐμβαδὸν } 66\)).
ΠΡΟΤΑΣΙΣ η΄ — Μέθοδος ἄνευ Καθέτου, Εὕρεσις Πλευρᾶς √720 καὶ Γραμμικὴ Ἀπόδειξις¶
η΄. Ἔστι δὲ καθολικὴ μέθοδος ὥστε τριῶν πλευρῶν δοθεισῶν οἱουδηποτοῦν τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν χωρὶς καθέτου. οἷον ἔστω τὰς τοῦ τριγώνου πλευρὰς εἶναι μονάδων ζ, η, θ. σύνθες τὰ ζ καὶ τὰ η καὶ τὰ θ· γίγνεται κδ. τούτων λαβὲ τὸ ἥμισυ· γίγνεται ιβ. ἄφελε τὰς ζ μονάδας· λοιπαὶ ε. πάλιν ἄφελε ἀπὸ τῶν ιβ τὰς η· λοιπαὶ δ. καὶ ἔτι τὰς θ· λοιπαὶ γ. ποίησον τὰ ιβ ἐπὶ τὰ ε· γίγνεται ξ. ταῦτα ἐπὶ τὰ δ· γίγνεται σμ. ταῦτα ἐπὶ τὰ γ· γίγνεται ψκ. τούτων λαβὲ πλευρὰν καὶ ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου.
Ἐπεὶ οὖν αἱ ψκ ῥητὴν πλευρὰν οὐκ ἔχουσιν, ληψόμεθα μετὰ διαφόρου ἐλαχίστου πλευρὰν οὕτως· ἐπεὶ ὁ σύνεγγυς τῷ ψκ τετράγωνός ἐστιν ὁ ψκθ καὶ πλευρὰν ἔχει κζ, μέρισον τὰ ψκ παρὰ τὸν κζ· γίγνεται κϛ δίμοιρον. πρόσθες τὰς κζ· γίγνεται νγ δίμοιρον. τούτων τὸ ἥμισυ· γίγνεται κϛ ∠΄ γ΄. ἔσται ἄρα ἡ τῶν ψκ πλευρὰ ἔγγιστα κϛ ∠΄ γ΄. τὰ γὰρ κϛ ∠΄ γ΄ ἐφʼ ἑαυτὰ γίγνεται ψκ λϛ΄, ὥστε τὸ διάφορον εἶναι μονάδος λϛ΄ μέρος. εἰ δὲ βουλόμεθα ἔτι ἐγγίον τοῦ λϛ΄ τὴν διαφορὰν γίγνεσθαι, ἀντὶ τοῦ ψκθ τάξομεν τὰ νῦν εὑρεθέντα ψκ καὶ λϛ΄, καὶ ταὐτὰ ποιήσαντες εὑρήσομεν πολλῷ ἐλάσσονα τοῦ λϛ΄ τὴν γιγνομένην διαφοράν.
Ἡ δὲ γραμμικὴ ἀπόδειξις τούτου ἐστὶν ἥδε.
Ἔστω τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ καὶ δεδόσθω ἑκάστη τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ· εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν. ἐγγεγράφθω εἰς τὸ τρίγωνον ὁ ΔΕΖ κύκλος, οὗ κέντρον ἔστω τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΗ, ΒΗ, ΓΗ, ΔΗ, ΕΗ, ΖΗ. τὸ μὲν ἄρα ὑπὸ ΒΓ, ΕΗ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΒΗΓ τριγώνου, τὸ δὲ ὑπὸ ΓΑ, ΖΗ διπλάσιον τοῦ ΑΗΓ τριγώνου, τὸ δὲ ὑπὸ ΑΒ, ΔΗ διπλάσιον τοῦ ΑΗΒ τριγώνου. τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ τριγώνου καὶ τῆς ΕΗ, τουτέστι τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΔΕΖ κύκλου, διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου.
Ἐκβεβλήσθω ἡ ΓΒ, καὶ τῇ ΑΔ ἴση κείσθω ἡ ΒΘ· ἡ ΓΘ ἄρα ἡμίσειά ἐστι τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ τριγώνου διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΑΔ τῇ ΑΖ, τὴν δὲ ΔΒ τῇ ΒΕ, τὴν δὲ ΖΓ τῇ ΓΕ. τὸ ἄρα ὑπὸ ΓΘ, ΕΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ἐμβαδῷ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. ἀλλὰ τὸ ὑπὸ ΓΘ, ΕΗ πλευρά ἐστι τοῦ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὸ ἀπὸ ΕΗ· τὸ ἄρα ἐμβαδὸν τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἐφʼ ἑαυτὸ γινόμενον ἴσον ἔσται τῷ ἀπὸ ΘΓ ἐπὶ τὸ ἀπὸ ΕΗ.
Ἤχθω τῇ μὲν ΗΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΗΛ, τῇ δὲ ΓΒ ἡ ΒΛ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΛ. ἐπεὶ οὖν ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΓΗΛ, ΓΒΛ, ἐν κύκλῳ ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΗΒΛ τετράπλευρον· αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΗΒ, ΓΛΒ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. εἰσὶ δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΓΗΒ, ΑΗΔ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι διὰ τὸ δίχα τετμῆσθαι τὰς πρὸς τῷ Η γωνίας ταῖς ΑΗ, ΒΗ, ΓΗ καὶ εἶναι τὰς ὑπὸ ΓΗΒ, ΑΗΔ ἴσας ταῖς ὑπὸ ΑΗΓ, ΔΗΒ, συναμφοτέρας δὲ τέσσασιν ὀρθαῖς ἴσας· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΗΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΛΒ. ἔστι δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΑΔΗ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΓΒΛ ἴση· ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΗΔ τρίγωνον τῷ ΓΒΛ τριγώνῳ.
Ὡς ἄρα ἡ ΒΓ πρὸς ΒΛ, ἡ ΑΔ πρὸς ΔΗ, τουτέστιν ἡ ΒΘ πρὸς ΕΗ, καὶ ἐναλλάξ, ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΒΘ, ἡ ΒΛ πρὸς ΕΗ, τουτέστιν ἡ ΒΚ πρὸς ΚΕ διὰ τὸ παράλληλον εἶναι τὴν ΒΛ τῇ ΕΗ· καὶ συνθέντι, ὡς ἡ ΓΘ πρὸς ΒΘ, οὕτως ἡ ΒΕ πρὸς ΕΚ· ὥστε καὶ ὡς τὸ ἀπὸ ΓΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΘ, ΘΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΒΕΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΕΚ, τουτέστι πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΗ· ἐν ὀρθογωνίῳ γὰρ κάθετος ἦκται ἡ ΕΗ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς ἐπὶ τὴν βάσιν. ἔσται ἄρα τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὸ ἀπὸ ΕΗ, οὗ πλευρὰ ἦν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΑΒΓ τριγώνου, ἴσον τῷ ὑπὸ ΓΘΒ ἐπὶ τὸ ὑπὸ ΓΕΒ. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἑκάστη τῶν ΓΘ, ΘΒ, ΒΕ, ΓΕ· ἡ μὲν γὰρ ΓΘ ἐστὶ τὸ ἥμισυ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ τριγώνου, ἡ δὲ ΒΘ ὑπεροχή, ᾗ ὑπερέχει τὸ ἥμισυ τῆς περιμέτρου τῆς ΓΒ, ἡ δὲ ΒΕ ὑπεροχή, ᾗ ὑπερέχει τὸ ἥμισυ τῆς περιμέτρου τῆς ΑΓ, ἡ δὲ ΕΓ ὑπεροχή, ᾗ ὑπερέχει τὸ ἥμισυ τῆς περιμέτρου τῆς ΑΒ, ἐπειδήπερ ἡ μὲν ΕΓ ἴση ἐστὶ τῇ ΓΖ, ἡ δὲ ΒΘ τῇ ΑΔ, τουτέστι τῇ ΑΖ. δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΑΒΓ τριγώνου.
Συντεθήσεται δὴ οὕτως· ἔστω ἡ μὲν ΑΒ μονάδων ιγ, ἡ δὲ ΒΓ ιδ, ἡ δὲ ΓΑ ιε. σύνθες τὰς τρεῖς· γίγνεται μβ· ὧν ἥμισυ γίγνεται κα. ἄφελε ιγ· λοιπαὶ η· καὶ ιδ· λοιπαὶ ζ· καὶ ιε· λοιπαὶ ϛ. διʼ ἀλλήλων τὰ κα ἐπὶ η καὶ ζ καὶ ϛ· γίγνεται ,ζνϛ. τούτων ἡ πλευρὰ ἔσται πδ. τοσούτου τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου.