Unit V — Centerless Cosmology & the Scripta Mathematica (1445–1459): Isoperimetric Transmutations and the Golden Proposition — Latin (1440 / 1514–1913)¶
Textus Latinus Collatis Editionibus Parisiensi (1514), Basileensi (1565) et Rottae (1913) · DI II.11–12 · DGT · DMC · DMP · APM (1440–1459)
Liber II, Capitulum XI — Corollaria de motu¶
h I, nn. 156–161 · Paris 1514 fol. 18v–19r · Rotta 1913 pp. 113–116
Fortassis admirabuntur, qui ista prius inaudita legerint, postquam ea vera esse docta ignorantia ostendit. Scimus nunc ex istis universum trinum; et nihil universorum esse, quod non sit unum ex potentia, actu et connexionis motu; et nullum horum sine alio absolute subsistere posse, ita quod necessario illa in omnibus sunt secundum diversissimos gradus adeo differenter, quod nulla duo in universo per omnia aequalia esse possunt simpliciter. Propter quod machinam mundanam habere aut istam terram sensibilem aut aërem vel ignem vel aliud quodcumque pro centro fixo et immobili variis motibus orbium consideratis est impossibile. Non devenitur enim in motu ad minimum simpliciter, puta fixum centrum, quia minimum cum maximo coincidere necesse est.
Centrum igitur mundi coincidit cum circumferentia. Non habet igitur mundus circumferentiam. Nam si centrum haberet, haberet et circumferentiam, et sic intra se haberet suum initium et finem, et esset ad aliquid aliud ipse mundus terminatus, et extra mundum esset aliud et locus; quae omnia veritate carent. Cum igitur non sit possibile mundum claudi intra centrum corporale et circumferentiam, non intelligitur mundus, cuius centrum et circumferentia sunt Deus. Et cum non sit mundus infinitus, tamen non potest concipi finitus, cum terminis careat, intra quos claudatur.
Terra igitur, quae centrum esse nequit, motu omni carere non potest. Nam eam moveri taliter etiam necesse est, quod per infinitum minus moveri posset. Sicut igitur terra non est centrum mundi, ita nec sphaera fixarum stellarum eius circumferentia, quamvis etiam, comparando terram ad caelum, ipsa terra videatur centro propinquior et caelum circumferentiae. Non est igitur centrum terra neque octavae aut alterius sphaerae, neque apparentia super horizontem sex signorum terram concludit in centro esse octavae sphaerae. Nam si esset etiam distanter a centro et circa axim per polos transeuntem, ita quod una parte esset elevata versus unum polum, in alia depressa versus alium, tunc hominibus tantum a polis distantibus, sicut horizon se extendit, sola medietas sphaerae appareret, ut est manifestum. Neque etiam est ipsum mundi centrum plus intra terram quam extra, neque etiam terra ista neque aliqua sphaera habet centrum. Nam cum centrum sit punctus aequedistans circumferentiae et non sit possibile verissimam sphaeram aut circulum esse, quin verior dari possit, manifestum est non posse dari centrum, quin verius etiam dari possit atque praecisius. Aequedistantia praecisa ad diversa extra Deum reperibilis non est, quia ipse solus est infinita aequalitas. Qui igitur est centrum mundi, scilicet Deus benedictus, ille est centrum terrae et omnium sphaerarum atque omnium, quae in mundo sunt; qui est simul omnium circumferentia infinita.
Praeterea, non sunt in caelo poli immobiles atque fixi, quamvis etiam caelum stellarum fixarum videatur per motum describere graduales in magnitudine circulos, minores quam coluros aut aequinoctialem; et ita de intermediis. Sed necesse est omnem caeli partem moveri, licet inaequaliter comparatione circulorum per motum stellarum descriptorum. Unde, sicut quaedam stellae videntur maximum circulum describere, ita quaedam minimum; sed non reperitur stella, quae nullum describat. Quoniam igitur non est polus in sphaera fixus, manifestum est neque aequale medium reperiri quasi aequedistanter a polis. Non est igitur stella in octava sphaera, quae per revolutionem describat maximum circulum, quoniam illam aequedistare a polis necesse esset, qui non sunt; et per consequens non est, quae minimum circulum describat. Poli igitur sphaerarum coincidunt cum centro, ut non sit aliud centrum quam polus, quia Deus benedictus. Et quoniam nos motum non nisi comparatione ad fixum, scilicet polos aut centra, deprehendere possumus et illa in mensuris motuum praesupponimus: hinc in coniecturis ambulantes in omnibus nos errare comperimus et admiramur, quando secundum regulas antiquorum stellas in situ non reperimus concordare, quia eos recte de centris et polis et mensuris credimus concepisse. Ex his quidem manifestum est terram moveri. Et quoniam ex motu cometae, aëris et ignis elementa experti sumus moveri et lunam minus de oriente in occasum quam Mercurium aut Venerem vel solem, et ita gradatim: hinc terra ipsa adhuc minus omnibus movetur, sed tamen non est ut stella circa centrum aut polum minimum describens circulum; neque octava sphaera describit maximum, ut statim probatum est.
Acute igitur considera, quoniam, sicut se habent stellae circa polos coniecturales in octava sphaera, ita terra, luna et planetae sunt ut stellae circa polum distanter et differenter motae, coniecturando polum esse, ubi creditur centrum. Unde, licet terra quasi stella sit propinquior polo centrali, tamen movetur et non describit minimum circulum in motu, ut est ostensum. Immo neque sol neque luna neque terra neque aliqua sphaera, licet nobis aliud videatur, describere potest verum circulum in motu, cum non moveantur super fixo. Neque verus circulus dabilis est, quin verior dari possit, neque umquam uno tempore sicut alio aequaliter praecise aut movetur aut circulum verisimilem aequalem describit, etiamsi nobis hoc non appareat.
Necesse est igitur, si de motu universi aliquid quoad iam dicta vere intelligere velis, centrum cum polis complices, te quantum potes cum imaginatione iuvando. Nam si quis esset supra terram et sub polo arctico et alius in polo arctico, – sicut existenti in terra appareret polum esse in zenith, ita existenti in polo appareret centrum esse in zenith. Et sicut antipodes habent sicut nos caelum sursum, ita existentibus in polis ambobus terra appareret esse in zenith; et ubicumque quis fuerit, se in centro esse credit. Complica igitur istas diversas imaginationes, ut sit centrum zenith et e converso, et tunc per intellectum, cui tantum docta servit ignorantia, vides mundum et eius motum atque figuram attingi non posse, quoniam apparebit quasi rota in rota et sphaera in sphaera, nullibi habens centrum vel circumferentiam, ut praefertur.
Liber II, Capitulum XII — De condicionibus terrae¶
h I, nn. 162–174 · Paris 1514 fol. 19r–20v · Rotta 1913 pp. 116–122
Ad ista iam dicta veteres non attigerunt, quia in docta ignorantia defecerunt. Iam nobis manifestum est terram istam in veritate moveri, licet nobis hoc non appareat. Non enim apprehendimus motum nisi per quandam comparationem ad fixum. Si enim quis ignoraret aquam fluere et ripas non videret existendo in navi in medio aquae, navem quomodo apprehenderet moveri? Et propter hoc, cum semper cuilibet videatur, quod sive ipse fuerit in terra sive sole aut alia stella, quod ipse sit in centro quasi immobili et quod alia omnia moveantur, ille certe semper alios et alios polos sibi constitueret existens in sole et alios in terra et alios in luna et Marte, et ita de reliquis. Unde erit machina mundi quasi habens undique centrum et nullibi circumferentiam, quoniam eius circumferentia et centrum est Deus, qui est undique et nullibi.
Terra etiam ista non est sphaerica, ut quidam dixerunt, licet tendat ad sphaericitatem. Nam figura mundi contracta est in eius partibus, sicut et motus; quando autem linea infinita consideratur ut contracta taliter, quod ut contracta perfectior esse nequit atque capacior, tunc est circularis; nam ibi principium coincidit cum fine. Motus igitur perfectior est circularis, et figura corporalis perfectior ex hoc sphaerica. Quare omnis motus partis est propter perfectionem ad totum, ut gravia versus terram et levia sursum, terra ad terram, aqua ad aquam, aër ad aërem, ignis ad ignem; et motus totius, quantum potest, circularem concomitatur et omnis figura sphaericam figuram, ut in animalium partibus et arboribus et caelo experimur. Unde unus motus est circularior et perfectior alio, ita et figurae sunt differentes.
Terrae igitur figura est nobilis et sphaerica et eius motus circularis, sed perfectior esse posset. Et quia maximum aut minimum in perfectionibus, motibus et figuris in mundo non est, ut ex statim dictis patet, tunc non est verum, quod terra ista sit vilissima et infima; nam quamvis videatur centralior quoad mundum, est tamen etiam eadem ratione polo propinquior, ut est dictum. Neque est ipsa terra pars proportionalis seu aliquota mundi. Nam cum mundus non habeat nec maximum nec minimum, neque habet medium neque partes aliquotas, sicut nec homo aut animal; nam manus non est pars aliquota hominis, licet pondus eius ad corpus videatur proportionem habere; et ita de magnitudine et figura. Neque color nigredinis est argumentum vilitatis eius; nam in sole si quis esset, non appareret illa claritas quae nobis. Considerato enim corpore solis, tunc habet quandam quasi terram centraliorem et quandam luciditatem quasi ignilem circumferentialem et in medio quasi aqueam nubem et aërem clariorem, quemadmodum terra ista sua elementa. Unde, si quis foret extra regionem ignis, terra ista in circumferentia regionis per medium ignis lucida stella appareret, sicut nobis, qui sumus circa circumferentiam regionis solis, sol lucidissimus apparet. Et non apparet luna adeo lucida, quoniam forte citra eius circumferentiam sumus versus partes magis centrales, puta in regione quasi aquea ipsius; et hinc non apparet eius lumen, licet habeat lumen proprium illis in extremitatibus circumferentiae eius existentibus apparens, et solum lumen reflexionis solis nobis apparet. Etiam propterea calor lunae, quem sine dubio ex motu efficit plus in circumferentia, ubi est maior motus, nobis non communicatur sicut in sole. Unde ista terra inter regionem solis et lunae videtur situata et per horum medium participat aliarum stellarum influentiam, quas nos non videmus propter hoc, cum extra earum regiones simus; videmus enim tantum regiones earum, quae scintillant.
Est igitur terra stella nobilis, quae lumen et calorem et influentiam habet aliam et diversam ab omnibus stellis, sicut etiam quaelibet a qualibet lumine, natura et influentia differt. Et sicut quaelibet stella alteri communicat lumen et influentiam non ex intentione, quoniam omnes stellae moventur tantum atque choruscant, ut sint meliori modo, unde ex consequenti participatio oritur, – sicut lux ex sua natura lucet, non ut ego videam, sed ex consequenti participatio fit, dum utor lumine ad finem videndi –: ita quidem Deus benedictus omnia creavit, ut dum quodlibet studet esse suum conservare quasi quoddam munus divinum, hoc agat in communione cum aliis; ut sicut pes non sibi tantum, sed oculo et manibus ac corpori et homini toti servit per hoc, quod est tantum ad ambulandum; et ita de oculo et reliquis membris; pariformiter de mundi partibus. Plato enim mundum animal dixit; cuius animam absque immersione Deum si concipis, et multa horum, quae diximus, tibi clara erunt. Neque dici debet, quod quia terra est minor sole et ab eo recipit influentiam, quod propterea sit vilior; quoniam regio tota terrae, quae usque ad ignis circumferentiam se extendit, magna est. Et quamvis terra minor sit quam sol, ut ex umbra et eclipsibus hoc notum nobis est, tamen non est nobis notum, quantum regio solis sit maior aut minor regione terrae. Aequalis autem ei praecise esse nequit; nulla enim stella alteri aequalis esse potest. Neque terra est minima stella, quia est maior luna, ut experientia eclipsium nos docuit, et Mercurio etiam, ut quidam dicunt, et forte aliis stellis. Unde ex magnitudine argumentum vilitatem non concludit. Influentia etiam, quam recipit, non est argumentum concludens imperfectionem. Nam ipsa, ut est stella, soli et suae regioni forte pariformiter influit, ut praefertur; et cum non experiamur nos aliter quam in centro esse, in quo confluunt influentiae, de ista refluentia nihil experiamur. Nam etsi terra quasi possibilitas se habeat et sol ut anima sive actualitas formalis eius respectu et luna ut medius nexus, ita ut istae stellae intra unam regionem positae suas ad invicem influentias uniant, aliis – scilicet Mercurio et Venere et ceteris – supra existentibus, ut dixerunt antiqui et aliqui etiam moderni: tunc patet correlationem influentiae talem esse, quod una sine alia esse nequit; erit igitur una et trina in quolibet pariformiter secundum gradus suos. Quare patet per hominem non esse scibile, an regio terrae sit in gradu perfectiori et ignobiliori respectu regionum stellarum aliarum, solis, lunae et reliquarum, quoad ista.
Neque etiam quoad locum; puta quod hic locus mundi sit habitatio hominum et animalium atque vegetabilium, quae in gradu sunt ignobiliora in regione solis et aliarum stellarum habitantium. Nam etsi Deus sit centrum et circumferentia omnium regionum stellarum et ab ipso diversae nobilitatis naturae procedant in qualibet regione habitantes, ne tot loca caelorum et stellarum sint vacua et solum ista terra fortassis de minoribus inhabitata, tamen intellectuali natura, quae hic in hac terra habitat et in sua regione, non videtur nobilior atque perfectior dari posse secundum hanc naturam, etiamsi alterius generis inhabitatores sint in aliis stellis. Non enim appetit homo aliam naturam, sed solum in sua perfectus esse. Improportionabiles igitur sunt illi aliarum stellarum habitatores, qualescumque illi fuerint, ad istius mundi incolas, etiamsi tota regio illa ad totam regionem istam ad finem universi quandam occultam nobis proportionem gerat, ut sic inhabitatores istius terrae seu regionis ad illos inhabitatores per medium universalis regionis hinc inde quandam ad se invicem habitudinem gestent, sicut particulares articuli digitorum manus per medium manus proportionem habent ad pedem et particulares articuli pedis per medium pedis ad manum, ut omnia ad animal integrum proportionata sint.
Unde, cum tota nobis regio illa ignota sit, remanent inhabitatores illi ignoti penitus, sicut in hac terra accidit, quod animalia unius speciei quasi unam regionem specificam facientia se uniunt et mutuo propter communem regionem specificam participant ea, quae eorum regionis sunt, de aliis nihil aut se impedientes aut veraciter apprehendentes. Non enim animal unius speciei conceptum alterius, quem per signa exprimit vocalia, apprehendere potest nisi in paucissimis signis extrinsecus, et tunc per longum usum et solum opinative. Minus autem de habitatoribus alterius regionis improportionabiliter scire poterimus, suspicantes in regione solis magis esse solares, claros et illuminatos intellectuales habitatores, spiritualiores etiam quam in luna, ubi magis lunatici, et in terra magis materiales et grossi; ut illi intellectuales naturae solares sint multum in actu et parum in potentia, terrenae vero magis in potentia et parum in actu, lunares in medio fluctuantes. Hoc quidem opinamur ex influentia ignili solis et aquatica simul et aërea lunae et gravedine materiali terrae, consimiliter de aliis stellarum regionibus suspicantes nullam inhabitatoribus carere, quasi tot sint partes particulares mundiales unius universi, quot sunt stellae, quarum non est numerus; ut unus mundus universalis sit contractus triniter progressione sua quaternaria descensiva in tot particularibus, quod eorum nullus est numerus nisi apud eum, qui omnia in numero creavit. Etiam corruptio rerum in terra, quam experimur, non est efficax argumentum ignobilitatis. Nobis enim constare non poterit, postquam est unus mundus universalis et proportiones influentiales omnium particularium stellarum ad invicem, quod aliquid sit corruptibile penitus, sed bene secundum alium et alium essendi modum, quando ipsae influentiae iam quasi contractae in uno individuo resolvuntur, ut modus essendi sic vel sic pereat, ut non sit morti locus, ut ait Virgilius. Mors enim nihil esse videtur nisi ut compositum ad componentia resolvatur; et an talis resolutio solum sit in terrenis incolis, quis scire poterit?
Dixerunt quidam tot esse rerum species in terra, quot sunt stellae. Si igitur terra omnium stellarum influentiam ita ad singulares species contrahit, quare similiter non fit in regionibus aliarum stellarum influentias aliarum recipientium? Et quis scire poterit, an omnes influentiae, contractae prius in compositione, in dissolutione redeant, ut animal nunc existens individuum alicuius speciei in regione terrae contractum ex omni stellarum influentia resolvatur, ita ut ad principia redeat, forma tantum ad propriam stellam redeunte, a qua illa species actuale esse in terra matre recepit? Vel an forma tantum redeat ad exemplar sive animam mundi – ut dicunt Platonici – et materia ad possibilitatem, remanente spiritu unionis in motu stellarum, qui spiritus dum cessat unire, se retrahens ob organorum indispositionem vel alias, ut ex diversitate motus separationem inducat, tunc quasi ad astra rediens, forma supra astrorum influentiam ascendente et materia infra descendente? Aut an formae cuiuslibet regionis in altiori quidem forma, puta intellectuali, quiescant, et per illam illum finem attingant, qui est finis mundi? Et quomodo hic finis attingitur per inferiores formas in Deo per illam, et quomodo illa ad circumferentiam, quae Deus est, ascendat corpore descendente versus centrum, ubi etiam Deus est, ut omnium motus sit ad Deum; in quo aliquando, sicut centrum et circumferentia sunt unum in Deo, corpus etiam quamvis visum sit quasi ad centrum descendere et anima ad circumferentiam, iterum in Deo unientur, cessante non omni motu, sed eo, qui ad generationem est; tamquam partes illae mundi essentiales necessario redeant tunc successiva generatione cessante, sine quibus mundus esse non possit, redeunte etiam spiritu unionis et connectente possibilitatem ad suam formam.
Haec quidem nemo hominum ex se, nisi singularius a Deo habuerit, scire poterit. Licet non dubitet quisquam Deum optimum ad se omnia creasse et non velle quidquam perire eorum, quae fecit, sciatque eum remuneratorem largissimum omnium ipsum colentium, modum tamen divinae operationis praesentis et futurae remunerationis Deus ipse solum scit, qui est sua operatio. Dicam tamen inferius iuxta inspiratam divinitus veritatem pauca circa hoc, de quibus nunc sufficit in ignorantia taliter tetigisse.
De Geometricis Transmutationibus (1445, §§1–11) — Ad Paulum Physicum Florentinum¶
h XX, Opuscula Mathematica · Paris 1514 vol. II · Basel 1565 pp. 945–949
Paulo magistri Dominici, physico Florentino, optimo atque doctissimo viro, liber de geometricis transmutationibus Nicolaus de Cusa cardinalis.
Etsi veteres magno ingenio praediti sedula indagatione conati sunt multa tunc abscondita sibi et posteris nota facere perfecerintque utiliter in plerisque maximis atque optimis artibus, non tamen omne desideratum in quibusque altioribus theoriis attigerunt, praeordinante hoc universorum optimo provisore, ut in nobis vis illa divinae intelligentiae non torpeat, sed admiratione vehementiori ad ipsa latentia et scitu possibilia feratur. Ardentius quidem in obscuri penetrationem movemur, ut quietius de mentis vigorositate delectemur. Inter ea autem, quae geometricis speculationibus insudantibus hucusque impedimento fuere, unum ab omnibus, quorum vires ingenii libri, qui ad nostram notitiam deducti sunt, curiosius observant, incognitum remansit, de recti scilicet atque curvi aequalitate aut in invicem transmutatione statuenda, ita ut non minimis, immo paene omnibus huic inquisitioni deditis post immensos labores visum sit viam ad huius notitiam acquirendam a nobis sublatam, hoc rei impossibilitate agente et natura ipsam tantae oppositionis coincidentiam repellente. Ego vero rei huius difficultatem in parvitate apprehensionis et intermissione diligentiae, non summo acumine vigilantium, ut obscuritas negotii deposcit, potius existimans dato qualicumque otio ad artem novam, qua ad quaesitum pertingerem, me contuli ei diligenter satis ob altiores fines insudando, quousque cunctarum meditationum mearum subscriptam formula facilem resolutionem efficerem. Quoniam autem in tanta et hactenus ignota arte, a qua non tantum perfectio geometricae transmutationis dependet, sed et etiam introductio ad altiora ascendendi figuratur, non erat in obscuritate et parvitate ingenioli mei confidendum, recte statui ad te, arbitrum peritissimum atque veritatis zelatorem, confugere et iamdudum probatissimo amico inventionem pandere, ut in statera aequissimi iudicis aestimetur. Noli igitur, amice dilectissime, ista, etiam si in maioribus verseris, quasi cruda indigestaque abicere. Lectu enim parva, intellectu vero facillima sunt. Sed quanto me ab annis iuventutis atque adolescentiae nostrae strictiori amicitiae nodo atque cordiali quodam amplexu indesinenter constrinxisti, tanto nunc accuratius emendationi animum adhibe et in communionem aliorum nisi correctum prodire non sinas.
Post innumeros paene modos, quibus, semper tamen deficiens, ad institutam artem pervenire contendi, tandem ad principium, quo in De docta ignorantia usus sum, respiciens via mihi patefacta existit. Exigit autem ars, quam inquiro, praeter ea iam tradita in geometricis versionem curvi in rectum ac recti in curvum. Inter quae cum nulla rationalis proportio cadat, oportet in quadam coincidentia extremorum hoc latere secretum. Quae cum in maximo sit, ut alibi traditur, et maximum sit circulus, qui ignoratur, in minimo, qui est triangulus, inquiri ipsum debere ibi ostenditur.
Omnium autem figurarum multorum angulorum, quae polygoniae, et aequalium laterum, quae isopleurae, et eiusdem longitudinis laterum, quae eandem habentes peripheriam isoperimetrae dicuntur, triangularem minimae capacitatis existere constat. Et cum tanto quaelibet isoperimetra sit capacior, quanto plures angulos habuerit, erit circulus isoperimeter figurarum omnium capacissima. Ad quam per angulorum multiplicationem deveniri nequit, sicut nec in numero ad maximum. Nulla igitur polygonia ad circularem isoperimetram proportionem rationalem habere potest.
Quia vero differentia capacitatis isoperimetrarum figurarum correspondet differentiae semidiametrorum circulorum inscriptorum eisdem, ut iam ante hoc notum est, quare nec circulus inscriptus, qui semper minor est, nec circumscriptus, qui semper maior est, ad circulum isoperimetrum rationalem proportionem habebit. Semidiametri autem illorum iam dictorum circulorum maxime inaequales in trigono existunt, in aliis successive minus inaequales, in circulo vero isoperimetro coincidentes, cum ibi inscriptus, circumscriptus et peripheria coincidant. Hinc inquirendum, qua arte ad coincidentiam ipsam atque propositum nostrum pertingere valeamus.
Videtur autem ad artis quaesitae sufficientiam primum pertinere, ut datae rectae detur aequalis curva. Secundo, ut secundum habitudinem curvae ad curvam detur recta ad rectam. Tertio, ut inter datas lineas duae proportionales assignentur. Quarto, ut secundum habitudinem duarum datarum sciatur ad tertiam datam dari quarta. Primum hactenus ignotum. Secundum nondum consideratum. Tertium a paucis obscure tactum. Quartum clare a multis explicatum. Complicatur in his omne, quod transmutatoriae huic arti opportunum est, ut praemissis istis, quae circa haec necessaria sunt, in exemplaribus subsumptionibus ostendere conabor.
Posse lineam curvam esse, quae datae rectae nec maior nec minor sit, ab omnibus admittitur, licet non omnes eam signari posse affirment. Potest igitur peripheriae datae polygoniae circuli alicuius peripheria nec maior nec minor esse, ut sint isoperimetrae. Sed quomodo haec detur, inquirimus.
Quoniam autem tanto circulus polygoniae aequilaterae seu isopleurae circumscriptus maior est quanto ipsa paucorum angulorum, et ei inscriptus tanto minor, hinc nemo negare potest, quin omnis circulus polygoniae aequilaterae inscriptus minor sit circulo isoperimetro atque quod omnis circumscriptus maior. Quare inter inscriptum atque circumscriptum isoperimeter cadens habet semidiametrum omni semidiametro cuiuscumque inscripti circuli cuicumque polygoniae isopleurae et isoperimetrae maiorem et circumscripti semidiametro minorem. Manifestabitur autem id, quod quaerimus, post multos difficiliores modos facili consequentia ex hac propositione:
Semidiameter circuli isoperimetri trigono inscripto se habet ad lineam a centro circuli, cui trigonus inscribitur, ad quartam lateris ductam in proportione sesquiquarta.
Sit circulus super a centro descriptus, cui bcd trigonus inscribitur, diviso bc latere in quattuor partes aequales per e, f, g signatas. Dico, si de a ad e linea ducta extendatur per quartam sui, ut sit ah, illam fore semidiametrum circuli, cuius circumferentia aequatur tribus trigoni lateribus.
Hoc sic facillime verum comprobatur. Nam tracta de a ad f linea illam semidiametrum circuli inscripti fore constat, quae est omnium inscriptorum polygoniis isoperimetris minima. Et similiter linea de a ad b ducta est semidiameter circumscripti, quae est omnium circumscriptorum isoperimetris polygoniis maxima. Et si de a prope f ad i punctum lineam duxeris extendendam secundum habitudinem if portionis ad bc latus, quae extensa sit ak, illam minorem esse semidiametro circuli isoperimetri manifestum, cum semidiameter circuli isoperimetri sit omnium inscriptorum polygoniis isoperimetris maxima. Similiter si de a prope b ad punctum l linea ducta extensa fuerit secundum habitudinem portionis lf ad bc, quae sit am, illam esse maiorem quaesita per se clarum est, cum quaesita sit omnium semidiametrorum circulorum circumscriptorum polygoniis isoperimetris minima. Potest igitur inter l et i ad aliquem punctum de a linea duci, quae extensa secundum habitudinem portionis inter punctum illum et f cadentis ad latus bc aequabitur quaesitae.
De Mathematicis Complementis (1453, §§1–10) — Ad Nicolaum Papam Quintum¶
h XX, Opuscula Mathematica · Paris 1514 vol. II · Basel 1565 pp. 1005–1010
Tanta est potestas summi tui pontificatus, Nicolae quinte, pater beatissime, ut per eos, qui vim eius attente consideraverunt, assimiletur potentiae quadrandi rotundum et quadrum circulandi, quasi maior illi dari non possit. Verum, cum in te non tantum primatus sit clavis et potestas scientiae supremaeque hierarchiae ecclesiae, sed velut perfectus magister omnium scibilium ex tuo felicissimo ingenio incomparabilis notitiae esse iudiceris ab omnibus. Id magnificentissime effecisti, ut omnium tam Graecorum quam Latinorum scripta, quae reperiri queunt, tua mirifica diligentia in omnium nostrum notitiam accuratissime pervenerint, ita, ut etiam geometrica non neglexeris, quae sane omni honore digna a maioribus nostris habita fuerunt.
Tradidisti etenim mihi proximis diebus magni Archimedis geometrica Graece tibi praesentata et tuo studio in Latinum conversa, quae mihi tam admiranda visa sunt, ut circa ipsa non nisi magna cum diligentia versari potuissem. Ex quo id effectum est, ut meo studio et labore complementum aliquod illis addiderim, quod tuae sanctitati offerre decrevi. Solum enim te dignum scio, ut quae a saeculo incognita remanserunt, per te cunctis patescant. Et non tantum scibilia, quae semper circa quaesitam circuli quadraturam versari consueverunt, sed et quae in omni mathematica perfectione praestant complementum, ex his ipsis meo iudicio perfecte consequi possint.
Testimonio omnium, qui se ad geometrica contulerunt, nemo propinquius Archimede ad circuli pervenit quadraturam. Qui videns illam attingi non posse, nisi curva circularis linea in rectam resolvatur, nisus est hanc artem mediante helica ostendere. Sed quia proportio motus signi a centro per semidiametrum ad motum, in quo in eodem tempore aliud signum per circumferentiam movetur, sine qua helica describi nequit, se habet ut semidiameter ad circumferentiam, quae non est scita, sed quaeritur. Hinc videtur ipsum defecisse. Facilius enim erit circulum quadrare quam helicam describere et contingentem eidem in fine circulationis applicare. Remanet igitur ex his, quae Archimedes reliquit, haec ars adhuc penitus abscondita. Ego autem quamvis multos in vanum laborasse in hac legerim indagatione, temptare coepi, si forte haec difficultas possit medio coincidentiarum finem capere, uti in aliis scientiis vim illam maximam esse comperi. Et visum est mihi quod data possibilitate, quam passim omnes admittunt, faciliter possit huius scientia pariter et praxis modo, quo sequitur, adipisci.
Primo advertendum quod in figura multiangula seu polygonia, quae habet aequalia latera, punctus unus aequedistans a medio et fine laterum centrum dicitur et linea ab illo centro ducta ad medium lateris est semidiameter circuli inscripti eidem et vocetur prima linea. Et alia linea ducta ab eodem centro ad finem lateris seu angulum aliquem est semidiameter circuli circumscripti eidem et vocetur secunda linea. Hae duae lineae in omni multiangula diversae sunt quantitatis et tanto plus, quanto latus eius maius. Nam potentia secundae lineae continet potentiam primae et cum hoc potentiam medietatis lateris, quia latus trianguli orthogonii, quod opponitur angulo recto, ut ostendit Euclides.
Et quia prima figurarum rectilinearum est triangulus, hinc in eo differunt in quantitate prima et secunda lineae maxime. In circulo vero coincidunt, quia ibi centrum aequaliter distat a circumferentia; medium enim et finis lateris coincidunt et est undique angulus. Est autem prima linea in trigono brevissima et secunda longissima. In eiusdem peripheriae tetragono prima post primam trigoni brevissima et sic secunda post secundam trigoni longissima et ita consequenter. Et quoniam prima in tetragono tali longior est prima in trigono, si ducitur prima in tetragono in medietatem peripheriae et similiter prima in trigono in eandem medietatem, diversas superficies, quae aequantur polygoniis, oriri constat.
Unde excessus superficiei illius, quae ex prima tetragoni ducta in medietatem peripheriae, super superficiem, quae oritur ex ductu primae trigoni in eandem medietatem peripheriae, est excessus capacitatis tetragoni super capacitatem trigoni, et sic quidem in cunctis polygoniis ex excessu primae lineae cuiuslibet super primam trigoni isoperimetri deprehenditur excessus capacitatis ipsius polygoniae super capacitatem trigoni. Quanto autem differentia primae et secundae linearum est minor, tanto excessus primae lineae polygoniae super primam trigoni maior. Et quia in circulo coincidunt prima et secunda, excessus semidiametri circuli isoperimetri super primam trigoni est maximus et hinc circuli capacitas super capacitatem trigoni maxima. Unde linea una recta, quae in trigono ad tria latera est extensa, ut sit illius superficiei perimeter, in tetragono ad quattuor latera extenditur, ut sit tetragoni perimeter, et adhuc plus in pentagono. Si autem maxime extenditur, ita quod plus extendi non possit, erit perimeter circuli.
Ex his patet, quod si trigonus est minimae capacitatis, ubi prima et secunda lineae maxime differunt, et circulus maximae capacitatis, ubi prima et secunda lineae coincidunt, erit sic proportionabiliter in mediis polygoniis. Quare, si ponitur excessus capacitatis circuli super trigonum, ut est differentia primae et secundae lineae in trigono, erit excessus capacitatis circuli super tetragonum ut differentia primae et secundae lineae in tetragono et ita consequenter, cum ad maiorem excessum primae lineae unius super primam lineam alterius sequatur minor differentia primae et secundae in excedente quam sit primae et secundae in excessa. Ex quo faciliter dato excessu primae in una aliqua super primam trigoni et differentia differentiarum primae et secundae illius capacioris et primae et secundae trigoni potest haberi semidiameter circuli isoperimetri, cuius scilicet circumferentia aequatur tribus lateribus trigoni aut quattuor tetragoni.
Quo scito patet circuli quadratura. Nam si ducitur semidiameter illius circuli isoperimetri in medietatem peripheriae, oritur superficies quadrangularis, quae nec maior nec minor esse potest superficie circulari, ut Archimedes faciliter ostendit. Haec superficies quadrangularis in quadratam ducitur, quoniam costa eius erit medium proportionale inter semidiametrum circuli et semiperipheriam eius, quae ex nona sexti Euclidis invenitur. Omnia haec quamvis manifesta sint, volo tamen illa etiam illis, qui mathematicis operam non impenderunt, clarissima facere. Figurae autem multiangulae similium laterum et aequalium peripheriarum, de quibus loquar, polygoniae isopleures et isoperimetrae ex conformitate Graecae linguae apud aliquos reperiuntur nominari.
Si ducitur linea recta in lineam rectam, oritur figura quattuor rectorum angulorum, et si eadem ducitur in duplam, oritur dupla, et ita deinceps. Et si recta ducitur de angulo in angulum, diameter est, quia in duo dividit. Ut si ab linea ducitur in bc, oritur figura quadrangularis abcd habens quattuor angulos rectos. Et si ab ducitur in be, quae sit dupla ad bc, oritur quadrangulus abef, qui est duplus ad abcd. Linea vero ac diameter est, similiter et ae.
Multiplicatio primae lineae in medietatem peripheriae aequatur embado polygoniae. Sit abcd figura quadrata quattuor rectorum angulorum et aequalium laterum. Cui inscribatur circulus super e centro, ita quod tangat quattuor latera quadrati in medio, et trahatur de e ad contactum, ubi circulus tangit ab, linea ef, quae est prima, quia semidiameter inscripti, et trahatur eb linea et similiter de e ad contactum, ubi circulus bd latus tangit, et sit eg, et dupletur linea fb, et sit fh, et similiter dupletur eg, et sit ei dupla, et claudatur quadrangulus per lineam ih, et ducatur eh diameter. Manifestum est ex praemissa efb et ebh triangulos esse aequales. Primus enim est medietas primi quadranguli, quia eb diameter, et efh triangulus est medietas secundi quadranguli, qui est duplus ad primum, quia eh diameter.
De Mathematica Perfectione (1458, Ded. & §§1–7) — Ad Dominum Antonium Cardinalem Sancti Chrysogoni¶
h XX, Opuscula Mathematica · Paris 1514 vol. II · Basel 1565 pp. 1110–1114
Reverendissimo in Christo Patri, domino Antonio sanctae Romanae ecclesiae tituli sancti Chrysogoni presbytero cardinali, Nicolaus cardinalis tituli sancti Petri ad vincula de mathematica perfectione.
Sollicita est nobilis mens vestra, Pater reverendissime, ut videat etiam hebetiorum speculationes, et a me alias novi aliquid deposcebat. Et quoniam me a palatio pes morbidus excusavit, biduo domi sedens mathematicam perfectionem, quam mitto, conscripsi, quatenus virtutem coincidentiarum experimento ignotorum hactenus in theologicis inquisitionibus commendarem. Omne enim scibile mathematicum ex ipsa, uti exempla quaedam subiungo, attingitur in his obscuris semper quam avide quaesitis, quae nulli hactenus patuerunt. Quomodo autem mathematica nos ducant ad penitus absoluta divina et aeterna, melius me novit doctissima paternitas vestra, qui estis theologorum vertex. Quandam etiam meae considerationis circa speculum et aenigma parvam alligavi scripturam: ubi si Reverendissima Paternitas Vestra modicum versari dignabitur, subito videbit, si visum mentis recte in rerum conieci principium, haec talia, quae etiam a doctissimis scribi timebantur. Quoniam minus apte panduntur quam contemplentur, non erubui Paternitati Vestrae mittere, cuius iudicio dirigi opto, sciens me non alieno, sed patri, qui me amat, communicare secreta, quae mihi pretiosiora fortassis videntur quam existant: correcturus aestimationem secundum vestram sententiam, quam istis libellis supplex ascribi deposco.
Intentio est ex oppositorum coincidentia mathematicam venari perfectionem. Et quia perfectio illa plerumque consistit in rectae curvaeque quantitatis adaequatione, propono habitudinem duarum rectarum linearum se ut chorda ad suum arcum habentium investigare, sciens illa habita me medium habere curvam quantitatem cum recta adaequandi; et quoniam ad has inveniendas necesse est me alicuius chordae ad arcum habitudinem scire, ut ex illa cognita pergere queam ad artem. Sed quomodo est possibile me cuiusquam datae chordae ad arcum habitudinem scire, cum inter illas quantitates adeo contrarias forte non cadat numerabilis habitudo?
Necesse erit igitur me recurrere ad visum intellectualem, qui videt minimam, sed non assignabilem chordam cum minimo arcu coincidere. Nam quanto chorda minor, tanto sagitta adhuc minor, ut de sagitta chordae bc est minor quam ge sagitta chordae fh, quia bc minor fh, et ita consequenter.
Minima igitur chorda, qua minor dari non posset, si signabilis foret, non haberet sagittam, et ita etiam non foret minor arcu suo. Coincideret igitur ibi chorda et arcus, si ad minimam quantitatem in talibus deveniretur. Hoc videt bene intellectus necessarium, licet sciat nec arcum nec chordam, cum sint quantitates, esse simpliciter minimas in actu et posse, cum continuum sit semper divisibile. Ad hauriendum autem scientiam habitudinis respicio ad intellectualem visionem et dico me videre, ubi est chordae et arcus aequalitas, scilicet in simpliciter minimo utriusque. Ex hac visa aequalitate pergo ad inquirendum intentum medio trianguli orthogonii, et hoc per propositionem, quae sequitur.
Si orthogonii latus, quo non est maius, ponitur linea prima et semidiameter circuli, et latus, quo non est minus, secunda linea et semichorda, et reliquum latus tertia linea: quae erit semiarcus ad semichordam habitudo, illa erit lineae aequalis tribus primis lineis ad lineam aequalem duabus primis cum tertia. Ut si orthogonius est abc et ac latus, quo non est maius, prima linea et semidiameter circuli, et bc latus, quo non est minus, secunda linea et semichorda, et ab latus tertia linea, et hc semiarcus, et de aequalis tribus lineis ac, et fg aequalis duabus ac cum una ab. Dico, quod quae est habitudo hc ad bc illa est de ad fg.
Orthogonius est tanto minor, quanto prima linea tertiam minus excedit. Si igitur posset dari minimus orthogonius, prima tertiam non excederet, et quia secunda linea foret minima, tunc cum ponatur semichorda, ipsa non foret minor semiarcu secundum praemissa. Maximus autem orthogonius est, quando prima tertiam excedit maxime. Et hoc erit, quando tertia erit ut secunda, qua non est minor, et tunc secunda est semichorda quadrantis. Et sit ille orthogonius abc. Dico possibile esse, quod aliqua linea addatur ac et eadem addatur ab, et maior se habeat ad minorem ut hc semiarcus ad bc semichordam. Hanc lineam posse dari, quae addatur ac et ab, ut praefertur, certum relinquo, cum possit linea aliqua dari, quae addita ad ac et ab efficiat lineas maioris habitudinis quam est habitudo hc semiarcus ad bc, et possit dari linea, quae addita efficiat lineas minoris habitudinis quam hc ad bc, et hoc certum. Igitur et dari posse eam, quae addita efficiat lineas nec maioris nec minoris habitudinis quam hc ad bc, manifestum, cum non repugnet lineas rectas se habere ut chorda ad arcum, sive chorda sit arcui commensurabilis sive incommensurabilis.
Constat autem, quod qualiscumque illa linea fuerit, si in minimo orthogonio etiam ad ac et ab additur, propositio verificatur, cum ibi prima et tertia sic sint eadem sicut semiarcus et semichorda. Quare qualiscumque illa linea fuerit, quae additur, propositio vera manet. Et quia sic est, quod linea, quae additur in maximo orthogonio, est etiam illa, quae additur in minimo, igitur et in omnibus orthogoniis intermediis eadem manebit.
Aurea Propositio in Mathematicis (Romae, VIII. Augusti 1459, §§1–7 — Textus Integer)¶
h XX, Opuscula Mathematica · Basel 1565 pp. 1145–1146
Sive tres lineae a centro egressae angulos aequales semirectos aut minores constituentes per arcum seu chordam terminentur, eandem ad terminantem tenent habitudinem.
Uti si de a, centro bdc, indefinitae quantitatis lineae egrediantur, duos aequales circa a angulos semirectos seu minores constituentes, per alicuius circuli arcum, puta bdc, aut eius chordam, scilicet bhc, sive contingentem, puta edg, terminentur: eandem teneant tres lineae ab, ad et ac ad arcum terminantem habitudinem quam ab, ah et ac ad bhc terminantem, sive ae, ad et ag ad edg terminantem. Quod idem est ac si diceretur: Sicut bdc arcus est quadrans et tres lineae ab, ad et ac sunt tres semidiametri eius, sic edg est aequalis alicui quadranti et ae, ad et ag aequantur tribus semidiametris circuli eius.
Ratio huius, quoniam si arcus bdc deberet in rectam, cuius extrema aequedistant ab a centro, inter lineas de a per b et de a per c egredientes cadentem extendi, necesse foret extrema cum medio simul tam rectae quam arcus aequedistare ab a centro. Si enim extrema aequedistarent, tunc medium rectae minus distaret quam medium arcus ab a centro, et recta foret minor arcu, ut in chorda bhc. Et si media aequedistarent, tunc extrema rectae plus distarent ut in contingente edg, ideo ipsa maior arcu bdc. Oportet igitur, quod quantum medium arcus, dum extenditur, descendit ad centrum, quod tantum extrema ascendant a centro, ut in ikl, ubi medium arcus in extensione de d descendit in k, et b et c extrema ascendunt in i et l; et extremorum ascensus aequatur descensui medii, ita quod extrema cum medio rectae simul aequedistant ab a centro, sicut extrema simul cum medio bdc arcus. Unde si non foret aequedistantia talis, recta non aequaretur illi arcui, sed simili maioris circuli, si maior distantia a centro, vel minori, si minor.
Et quia, quanto circulus maior est, tanto arcus rectae similior, ideo videt mens, si infinite maximus circulus signabilis foret, arcum esse et rectam et haec, quae dicta sunt ibi atque propositionem veram. Et quoniam stante eodem angulo circa centrum eadem est habitudo terminantium et terminatarum, ideo id, quod in maximo videt mens verum, in omnibus pariformiter verum esse conspicit. Propositio igitur illis et aliis innumeris modis verissima conspicitur.
Ratio, cur propositio de duobus semirectis, qui rectum angulum faciunt, et minoribus et non universaliter de omnibus angulis loquitur, haec est, quia a minimo arcu et portione circuli usque ad quadrantem triangulus ex orthogoniis compositus et portioni circuli inscriptus continue augetur et fit maximus in quadrante, post minuitur. Et ideo non potest propositio aeque vera esse arcu cum portione et triangulo crescente atque arcu cum portione crescente et triangulo decrescente.
Patet faciliter omnem arcum rectilineari posse. Nam si tres lineae in recta terminatae sunt pars aliquota trium semidiametrorum, recta talis erit aliquota arcus, curva tamen superficies est capacior recta. Sic si tertiam partem trium terminatarum in recta sumpseris et semidiametrum feceris describendo arcum, ille rectae aequabitur, et universaliter arcum in rectam et rectam in arcum vertes et arcum unius circuli in arcum alterius.
Constat etiam, quod anguli dari possunt, qui se habent ut costa et diameter quadrati et universaliter sicut dabiles lineae, ita et superficies et corpora. Habes etiam innumerabiles modos circulum rectilineandi, quadrangulandi et quadrandi. Sic de qualibet portione circuli commensurabili circulo vel incommensurabili. Patescunt etiam ignota de sinibus et chordis. Haec omnia hactenus in mathematicis incognita et quaeque mathematice scibilia cum infinitis inauditis corollariis ad hoc datis quaerentes reperient.
Altius se elevantes vident aequalitatem habitudinis esse medium transmutationis atque transitus de contrario in contrarium, et quid mysterii habet, quod tres lineae a puncto egredientes aut terminantur in uno arcu, et sunt omnes aequales, aut in recta, et extremae sunt aequales et media inaequalis usque ad incommensurabilitatem, sicut costa est et diameter quadrati. Et diversitas terminationis diversificat superficies, ut una sit curva, alia recta, manente eadem habitudine terminantium, quae linearum ex eodem puncto et modo aequali egredientium. Nec hoc citra nec ultra trinitatem linearum, quae non ut separatae, sed ut una simplex longitudo considerantur, verum esse potest. Circa unitrinum igitur principium et rerum ab eo effluxum versabitur altissima sapientis speculatio.
Finit Romae 1459, 8. Augusti, tempore legationis urbis etc.