Unit IV · Appendix Geometrica (Textus Latinus, 1678, pp. 73–104)

Folio-verified Neo-Latin primary text from Giovanni Ceva’s De lineis rectis se invicem secantibus statica constructio (Mediolani: Ex Typographia Ludovici Montiae, 1678, Appendix Geometrica, pp. 73–104; PDF pp. 90–121, Tab. 8–10, Figs. 62–85).

1. De Rationibus Triangulorum Absque Principiis Staticis (pp. 73–76)

Appendix Geometrica, in qua Theorematum nonnullorum demonstratio purè geometrica exhibetur, unà cum variis circuli, lunularum, ungularum ac solidorum contemplationibus.

Ut iis etiam morem geramus, qui in Geometricis nil nisi purè geometricum admittunt, ostendemus primo loco rationes segmentorum in triangulo à rectis concurrentibus abscissorum ex sola triangulorum planorum comparatione (Euclides, [VI.1] & [V.19]), nullo prorsus adhibito ponderum aut centrorum gravitatis subsidio, demonstrari posse: nempe in triangulo $ABC$, concurrentibus $AD, BE, CF$ in puncto $P$, est triangulum $PAB$ ad triangulum $PAC$ ut basis $BD$ ad basim $DC$; pariterque triangulum $PBC$ ad $PAB$ ut $CE$ ad $EA$, ac $PAC$ ad $PBC$ ut $AF$ ad $FB$—quarum trium rationum ratio composita manifestè est ratio æqualitatis.

2. Propositio II (Lunula Hippocratis) & Propositio VII (Ungula Cylindrica)

  • Propositio II. Theorema (Tab. 8, ex Hippocrate Chio): Super latere quadrati seu subtensa trianguli rectanguli isoscelis triABC descripto semicirculo arcHyp, atque ex angulo recto descripto quadrante arcQuad, lunula curvilinea inter utrumque arcum comprehensa spatio rectilineo ipsius trianguli triABC exactè æquatur ($\frac{1}{2} R^2$).

  • Propositio VII. Theorema (Tab. 8–9): Si cylindrus rectus plano per diametrum basis oblique transeunte secetur, resecabitur solidum quod ungulam cylindricam ungula vocant; cuius soliditas—sectis per plana axi æquidistantia triangulis rectangulis similibus sliceTri—exactè dupla est tertiæ partis (duas tertias partes) totius prismatis triangularis eidem ungulæ circumscripti ($\frac{2}{3} R^2 H$).

Lune 1/2 R^2 App. Prop. II: Lune = Triangle [Lune] = [Delta] = 1/2 R^2 App. Prop. VII: Cylindrical Ungula Vol(Ungula) = 2/3 R^2 H = 2/3 Prism V O G (5:3) ds != dz Prop. XIII (5:3 CG) & Indivisibles Paradox Curved Surface Requires Slant Frustum ds, Not dz

3. Propositiones XIII–XIV — De Centris Gravitatis Hemisphærii & Conoidis

  • Propositio XIII. Theorema (Tab. 9): In omni hemisphærio solido hemi, centrum gravitatis cgH dividit axem axisVO à vertice $V$ ad centrum basis $O$ in ratione quinque ad tria ($5 : 3$), quemadmodum olim divino ingenio demonstravit Lucas Valerius (1604), subtilissimus nostri æui Archimedes.

  • Propositio XIV & Scholium: In conoide autem parabolico ab acutissimo Evangelista Torricellio (1644) ac Commandino celebrato, centrum gravitatis secat axem à vertice ad basim in ratione dupla ($2 : 1$); mirabileque insuper occurrit solidum hyperbolicum acutum infinitæ longitudinis, finitæ tamen dimensionis capax.

4. Cautio in Methodo Indivisibilium Circa Superficies Curvas (pp. 100–104)

Scholium & Cautio Coronidis Loco (Indivisibilia Cavallerii): Quamvis methodus indivisibilium clarissimi Bonaventuræ Cavallerii (1635) in planis spatiis ac solidis corporibus dimetiendis mirificam præstet facilitatem, summopere tamen cavendum est tironibus, ne eandem incautè ad superficies curvas transferant! Si quis enim ex meris peripheriis circulorum æquidistantium (chordSlice) superficiem sphæræ hemi aut coni colligere attentet, neglecta obliquitate lateris seu frusti conici (slantArc) inscripti, in apertissimum paralogismum prolabetur, falsamque omnino superficiei sphæricæ mensuram contra Archimedis invictas demonstrationes concludet.