Τοπικῶν Ζ.4 & Θ.3 — Περὶ ὁρισμῶν καὶ ἀνταναιρέσεως¶
Editio Graeca Bekkeriana (1831/1837; Metaph. rec. W. D. Ross 1924) · Bekker 141a23–142b19, 158a31–159a14
Τοπικῶν VI.4 (141a23–142b19)¶
Πότερον μὲν οὖν καλῶς ἢ οὐ καλῶς, διὰ τούτων καὶ τῶν τοιούτων ἐπισκεπτέον· πότερον δ᾿ εἴρηκε καὶ ὥρισται τὸ τί ἦν εἶναι ἢ οὐχί, ἐκ τῶνδε.
Πρῶτον μὲν εἰ μὴ διὰ προτέρων καὶ γνωριμωτέρων πεποίηται τὸν ὁρισμόν. Ἐπεὶ γὰρ ὁ ὅρος ἀποδίδοται τοῦ γνωρίσαι χάριν τὸ λεχθέν, γνωρίζομεν δ᾿ οὐκ ἐκ τῶν τυχόντων ἀλλ᾿ ἐκ τῶν προτέρων καὶ γνωριμωτέρων, καθάπερ ἐν ταῖς ἀποδείξεσιν (οὕτω γὰρ πᾶσα διδασκαλία καὶ μάθησις ἔχει), φανερὸν ὅτι ὁ μὴ διὰ τοιούτων ὁριζόμενος οὐχ ὥρισται. Εἰ δὲ μή, πλείους ἔσονται τοῦ αὐτοῦ ὁρισμοί. Δῆλον γὰρ ὅτι καὶ ὁ διὰ προτέρων καὶ γνωριμωτέρων βέλτιον ὥρισται, ὥστε ἀμφότεροι ἂν εἴησαν ὅροι τοῦ αὐτοῦ. Τὸ δὲ τοιοῦτον οὐ δοκεῖ· ἑκάστῳ γὰρ τῶν ὄντων ἕν ἐστι τὸ εἶναι ὅπερ ἐστίν· ὥστ᾿ εἰ πλείους ἔσονται τοῦ αὐτοῦ ὁρισμοί, ταὐτὸν ἔσται τῷ ὁριζομένῳ τὸ εἶναι ὅπερ καθ᾿ ἑκάτερον τῶν ὁρισμῶν δηλοῦται. Ταῦτα δ᾿ οὐ ταὐτά ἐστιν, ἐπειδὴ οἱ ὁρισμοὶ ἕτεροι. Δῆλον οὖν ὅτι οὐχ ὥρισται ὁ μὴ διὰ προτέρων καὶ γνωριμωτέρων ὁρισάμενος.
Τὸ μὲν οὖν μὴ διὰ γνωριμωτέρων εἰρῆσθαι τὸν ὅρον διχῶς ἔστιν ἐκλαβεῖν· ἢ γὰρ εἰ ἁπλῶς ἐξ ἀγνωστοτέρων ἢ εἰ ἡμῖν ἀγνωστοτέρων· ἐνδέχεται γὰρ ἀμφοτέρως. Ἁπλῶς μὲν οὖν γνωριμώτερον τὸ πρότερον τοῦ ὑστέρου, οἷον στιγμὴ γραμμῆς καὶ γραμμὴ ἐπιπέδου καὶ ἐπίπεδον στερεοῦ, καθάπερ καὶ μονὰς ἀριθμοῦ· πρότερον γὰρ καὶ ἀρχὴ παντὸς ἀριθμοῦ. Ὁμοίως δὲ καὶ στοιχεῖον συλλαβῆς. Ἡμῖν δ᾿ ἀνάπαλιν ἐνίοτε συμβαίνει· μάλιστα γὰρ τὸ στερεὸν ὑπὸ τὴν αἴσθησιν πίπτει, τὸ δ᾿ ἐπίπεδον μᾶλλον τῆς γραμμῆς, γραμμὴ δὲ σημείου μᾶλλον. Οἱ πολλοὶ γὰρ τὰ τοιαῦτα προγνωρίζουσιν· τὰ μὲν γὰρ τῆς τυχούσης τὰ δ᾿ ἀκριβοῦς καὶ περιττῆς διανοίας καταμαθεῖν ἐστίν.
Ἁπλῶς μὲν οὖν βέλτιον τὸ διὰ τῶν πρότερον τὰ ὕστερα πειρᾶσθαι γνωρίζειν· ἐπιστημονικώτερον γὰρ τὸ τοιοῦτόν ἐστιν. Οὐ μὴν ἀλλὰ πρὸς τοὺς ἀδυνατοῦντας γνωρίζειν διὰ τῶν τοιούτων ἀναγκαῖον ἴσως διὰ τῶν ἐκείνοις γνωρίμων ποιεῖσθαι τὸν λόγον. Εἰσὶ δὲ τῶν τοιούτων ὁρισμῶν ὅ τε τῆς στιγμῆς καὶ ὁ τῆς γραμμῆς καὶ ὁ τοῦ ἐπιπέδου· πάντες γὰρ διὰ τῶν ὑστέρων τὰ πρότερα δηλοῦσιν· τὸ μὲν γὰρ γραμμῆς, τὸ δ᾿ ἐπιπέδου, τὸ δὲ στερεοῦ φασὶ πέρας εἶναι. Οὐ δεῖ δὲ λανθάνειν ὅτι τοὺς οὕτως ὁριζομένους οὐκ ἐνδέχεται τὸ τί ἦν εἶναι τῷ ὁριζομένῳ δηλοῦν, ἐὰν μὴ τυγχάνῃ ταὐτὸν ἡμῖν τε γνωριμώτερον καὶ ἁπλῶς γνωριμώτερον, εἴπερ δεῖ μὲν διὰ τοῦ γένους καὶ τῶν διαφορῶν ὁρίζεσθαι τὸν καλῶς ὁριζόμενον, ταῦτα δὲ τῶν ἁπλῶς γνωριμωτέρων καὶ προτέρων τοῦ εἴδους ἐστίν. Συναναιρεῖ γὰρ τὸ γένος καὶ ἡ διαφορὰ τὸ εἶδος, ὥστε πρότερα ταῦτα τοῦ εἴδους.
Ἔστι δὲ καὶ γνωριμώτερα· τοῦ μὲν γὰρ εἴδους γνωριζομένου ἀνάγκη καὶ τὸ γένος καὶ τὴν διαφορὰν γνωρίζεσθαι (ὁ γὰρ ἄνθρωπον γνωρίζων καὶ ζῷον καὶ πεζὸν γνωρίζει), τοῦ δὲ γένους ἢ τῆς διαφορᾶς γνωριζομένης οὐκ ἀνάγκη καὶ τὸ εἶδος γνωρίζεσθαι, ὥστε ἀγνωστότερον τὸ εἶδος. Ἔτι τοῖς κατ᾿ ἀλήθειαν τοὺς τοιούτους ὁρισμοὺς φάσκουσιν εἶναι, τοὺς ἐκ τῶν ἑκάστῳ γνωρίμων, πολλοὺς τοῦ αὐτοῦ συμβήσεται λέγειν ὁρισμοὺς εἶναι· ἕτερα γὰρ ἑτέροις καὶ οὐ ταὐτὰ πᾶσι τυγχάνει γνωριμώτερα ὄντα, ὥστε πρὸς ἕκαστον ἕτερος ἂν εἴη ὁρισμὸς ἀποδοτέος, εἴπερ ἐκ τῶν ἑκάστοις γνωριμωτέρων τὸν ὁρισμὸν ποιεῖσθαι χρή. Ἔτι τοῖς αὐτοῖς ἄλλοτ᾿ ἄλλα μᾶλλον γνώριμα, ἐξ ἀρχῆς μὲν τὰ αἰσθητά, ἀκριβεστέροις δὲ γινομένοις ἀνάπαλιν, ὥστ᾿ οὐδὲ πρὸς τὸν αὐτὸν ἀεὶ ὁ αὐτὸς ὁρισμὸς ἀποδοτέος τοῖς διὰ τῶν ἑκάστοις γνωριμωτέρων τὸν ὁρισμὸν φάσκουσιν ἀποδοτέον εἶναι.
Δῆλον οὖν ὅτι οὐχ ὁριστέον διὰ τῶν τοιούτων, ἀλλὰ διὰ τῶν ἁπλῶς γνωριμωτέρων· μόνως γὰρ ἂν οὕτως εἷς καὶ ὁ αὐτὸς ὁρισμὸς ἀεὶ γίνοιτο. Ἴσως δὲ καὶ τὸ ἁπλῶς γνώριμον οὐ τὸ πᾶσι γνώριμόν ἐστιν, ἀλλὰ τὸ τοῖς εὖ διακειμένοις τὴν διάνοιαν, καθάπερ καὶ τὸ ἁπλῶς ὑγιεινὸν τὸ τοῖς εὖ ἔχουσι τὸ σῶμα. Δεῖ μὲν οὖν ἕκαστα τῶν τοιούτων ἐξακριβοῦν, χρῆσθαι δὲ διαλεγομένους πρὸς τὸ συμφέρον. Μάλιστα δ᾿ ὁμολογουμένως ἀναιρεῖν ἐνδέχεται τὸν ὁρισμόν, ἐὰν μήτ᾿ ἐκ τῶν ἁπλῶς γνωριμωτέρων μήτ᾿ ἐκ τῶν ἡμῖν τυγχάνῃ τὸν λόγον πεποιημένος.
Εἷς μὲν οὖν τρόπος τοῦ μὴ διὰ γνωριμωτέρων ἐστὶ τὸ διὰ τῶν ὑστέρων τὰ πρότερα δηλοῦν, καθάπερ πρότερον εἴπαμεν· ἄλλος, εἰ τοῦ ἐν ἠρεμίᾳ καὶ τοῦ ὡρισμένου διὰ τοῦ ἀορίστου καὶ τοῦ ἐν κινήσει ἀποδέδοται ὁ λόγος· πρότερον γὰρ τὸ μένον καὶ τὸ ὡρισμένον τοῦ ἀορίστου καὶ ἐν κινήσει ὄντος.
Τοῦ δὲ μὴ ἐκ προτέρων τρεῖς εἰσὶ τρόποι, πρῶτος μὲν εἰ διὰ τοῦ ἀντικειμένου τὸ ἀντικείμενον ὥρισται, οἷον διὰ τοῦ κακοῦ τὸ ἀγαθόν· ἅμα γὰρ τῇ φύσει τὰ ἀντικείμενα. Ἐνίοις δὲ καὶ ἡ αὐτὴ ἐπιστήμη ἀμφοτέρων δοκεῖ εἶναι, ὥστ᾿ οὐδὲ γνωριμώτερον τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου. Δεῖ δὲ μὴ λανθάνειν ὅτι ἔνια ἴσως οὐκ ἔστιν ὁρίσασθαι ἄλλως, οἷον τὸ διπλάσιον ἄνευ τοῦ ἡμίσεος, καὶ ὅσα καθ᾿ αὑτὰ πρός τι λέγεται· πᾶσι γὰρ τοῖς τοιούτοις ταὐτὸν τὸ εἶναι τῷ πρός τί πως ἔχειν, ὥστ᾿ ἀδύνατον ἄνευ θατέρου θάτερον γνωρίζειν, διόπερ ἀναγκαῖον ἐν τῷ τοῦ ἑτέρου λόγῳ συμπεριειλῆφθαι καὶ θάτερον. Γνωρίζειν μὲν οὖν δεῖ τὰ τοιαῦτα πάντα, χρῆσθαι δ᾿ αὐτοῖς ὡς ἂν δοκῇ συμφέρειν.
Ἄλλος, εἰ αὐτῷ κέχρηται τῷ ὁριζομένῳ. Λανθάνει δ᾿, ὅταν μὴ αὐτῷ τῷ τοῦ ὁριζομένου ὀνόματι χρήσηται, οἷον εἰ τὸν ἥλιον ἄστρον ἡμεροφανὲς ὡρίσατο· ὁ γὰρ ἡμέρᾳ χρώμενος ἡλίῳ χρῆται. Δεῖ δ᾿ ὅπως φωραθῇ τὰ τοιαῦτα μεταλαμβάνειν ἀντὶ τοῦ ὀνόματος τὸν λόγον, οἷον ὅτι ἡμέρα ἡλίου φορὰ ὑπὲρ γῆς ἐστίν· δῆλον γὰρ ὅτι ὁ τὴν φορὰν ἡλίου ὑπὲρ γῆς εἰρηκὼς τὸν ἥλιον εἴρηκεν, ὥστε κέχρηται τῷ ἡλίῳ ὁ τῇ ἡμέρᾳ χρησάμενος.
Πάλιν εἰ τῷ ἀντιδιῃρημένῳ τὸ ἀντιδιῃρημένον ὥρισται, οἷον περιττὸν τὸ μονάδι μεῖζον ἀρτίου. Ἄμα γὰρ τῇ φύσει τὰ ἐκ τοῦ αὐτοῦ γένους ἀντιδιῃρημένα, τὸ δὲ περιττὸν καὶ ἄρτιον ἀντιδιῄρηται· ἄμφω γὰρ ἀριθμοῦ διαφοραί.
Ὁμοίως δὲ καὶ εἰ διὰ τῶν ὑποκάτω τὸ ἐπάνω ὥρισται, οἷον ἄρτιον ἀριθμὸν τὸν δίχα διαιρούμενον ἢ τὸ ἀγαθὸν ἕξιν ἀρετῆς· τό τε γὰρ δίχα ἀπὸ τῶν δύο εἴληπται, ἀρτίων ὄντων, καὶ ἡ ἀρετὴ ἀγαθόν τί ἐστιν, ὥσθ᾿ ὑποκάτω ταῦτα ἐκείνων ἐστίν. Ἔτι δ᾿ ἀνάγκη τὸν τῷ ὑποκάτω χρώμενον καὶ αὐτῷ χρῆσθαι. Ὅ τε γὰρ τῇ ἀρετῇ χρώμενος χρῆται τῷ ἀγαθῷ, ἐπειδὴ ἀγαθόν τι ἡ ἀρετή· ὁμοίως δὲ καὶ ὁ τῷ δίχα χρώμενος τῷ ἀρτίῳ χρῆται, ἐπειδὴ εἰς δύο διῃρῆσθαι σημαίνει τὸ δίχα, τὰ δὲ δύο ἄρτιά ἐστιν.
Τοπικῶν VIII.3 (158a31–159a14)¶
Ἔστι δ᾿ ἐπιχειρεῖν τε χαλεπὸν καὶ ὑπέχειν ῥᾴδιον τὰς αὐτὰς ὑποθέσεις. Ἔστι δὲ τοιαῦτα τά τε φύσει πρῶτα καὶ τὰ ἔσχατα. Τὰ μὲν γὰρ πρῶτα ὅρου δεῖται, τὰ δ᾿ ἔσχατα διὰ πολλῶν περαίνεται βουλομένῳ τὸ συνεχὲς λαμβάνειν ἀπὸ τῶν πρώτων, ἢ σοφισματώδη φαίνεται τὰ ἐπιχειρήματα· ἀδύνατον γὰρ ἀποδεῖξαί τι μὴ ἀρξάμενον ἀπὸ τῶν οἰκείων ἀρχῶν καὶ συνείραντα μέχρι τῶν ἐσχάτων. Ὁρίζεσθαι μὲν οὖν οὔτ᾿ ἀξιοῦσιν οἱ ἀποκρινόμενοι, οὔτ᾿ ἂν ὁ ἐρωτῶν ὁρίζηται προσέχουσιν· μὴ γενομένου δὲ φανεροῦ τί ποτ᾿ ἐστὶ τὸ προκείμενον, οὐ ῥᾴδιον ἐπιχειρεῖν. Μάλιστα δὲ τὸ τοιοῦτον περὶ τὰς ἀρχὰς συμβαίνει· τὰ μὲν γὰρ ἄλλα διὰ τούτων δείκνυται, ταῦτα δ᾿ οὐκ ἐνδέχεται δι᾿ ἑτέρων, ἀλλ᾿ ἀναγκαῖον ὁρισμῷ τῶν τοιούτων ἕκαστον γνωρίζειν.
Ἔστι δὲ δυσεπιχείρητα καὶ τὰ λίαν ἐγγὺς τῆς ἀρχῆς· οὐ γὰρ ἐνδέχεται πολλοὺς πρὸς αὐτὰ λόγους πορίσασθαι, ὀλίγων ὄντων τῶν ἀνὰ μέσον αὐτοῦ τε καὶ τῆς ἀρχῆς, δι᾿ ὧν ἀνάγκη δείκνυσθαι τὰ μετὰ ταῦτα. Τῶν δὲ ὅρων δυσεπιχειρητότατοι πάντων εἰσὶν ὅσοι κέχρηνται τοιούτοις ὀνόμασιν, ἃ πρῶτον μὲν ἄδηλά ἐστιν εἴτε ἁπλῶς εἴτε πολλαχῶς λέγεται, πρὸς δὲ τούτοις μηδὲ γνώριμα πότερον κυρίως ἢ κατὰ μεταφορὰν ὑπὸ τοῦ ὁρισαμένου λέγεται. Διὰ μὲν γὰρ τὸ ἀσαφῆ εἶναι οὐκ ἔχει ἐπιχειρήματα, διὰ δὲ τὸ ἀγνοεῖσθαι εἰ παρὰ τὸ κατὰ μεταφορὰν λέγεσθαι τοιαῦτ᾿ ἐστίν, οὐκ ἔχει ἐπιτίμησιν.
Ὅλως δὲ πᾶν πρόβλημα, ὅταν ᾖ δυσεπιχείρητον, ἢ ὅρου δεῖσθαι ὑποληπτέον, ἢ τῶν πολλαχῶς ἢ τῶν κατὰ μεταφορὰν εἶναι λεγομένων, ἢ οὐ πόρρω τῶν ἀρχῶν, ἢ διὰ τὸ μὴ φανερὸν εἶναι πρῶτον ἡμῖν τοῦτ᾿ αὐτό, κατὰ τίνα ποτὲ τῶν εἰρημένων τρόπον ἐστὶν ὃ τὴν ἀπορίαν παρέχεται· φανεροῦ γὰρ ὄντος τοῦ τρόπου δῆλον ὅτι ἢ ὁρίζεσθαι ἂν δέοι ἢ διαιρεῖσθαι ἢ τὰς ἀνὰ μέσον προτάσεις πορίζεσθαι· διὰ τούτων γὰρ δείκνυται τὰ ἔσχατα.
Πολλαῖς τε τῶν θέσεων μὴ καλῶς ἀποδιδομένου τοῦ ὁρισμοῦ οὐ ῥᾴδιον διαλέγεσθαι καὶ ἐπιχειρεῖν, οἷον πότερον ἓν ἑνὶ ἐναντίον ἢ πλείω· ὁρισθέντων δὲ τῶν ἐναντίων κατὰ τρόπον ῥᾴδιον συμβιβάσαι πότερον ἐνδέχεται πλείω τῷ αὐτῷ εἶναι ἐναντία ἢ οὔ. Τὸν αὐτὸν δὲ τρόπον καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων τῶν ὁρισμοῦ δεομένων. Ἔοικε δὲ καὶ ἐν τοῖς μαθήμασιν ἔνια δι᾿ ὁρισμοῦ ἔλλειψιν οὐ ῥᾳδίως γράφεσθαι, οἷον καὶ ὅτι ἡ παρὰ τὴν πλευρὰν τέμνουσα τὸ ἐπίπεδον ὁμοίως διαιρεῖ τήν τε γραμμὴν καὶ τὸ χωρίον. Τοῦ δὲ ὁρισμοῦ ῥηθέντος εὐθέως φανερὸν τὸ λεγόμενον· τὴν γὰρ αὐτὴν ἀνταναίρεσιν ἔχει τὰ χωρία καὶ αἱ γραμμαί· ἔστι δ᾿ ὁρισμὸς τοῦ αὐτοῦ λόγου οὗτος. Ἁπλῶς δὲ τὰ πρῶτα τῶν στοιχείων τιθεμένων μὲν τῶν ὁρισμῶν, οἷον τί γραμμὴ καὶ τί κύκλος, ῥᾷστα δεῖξαι, πλὴν οὐ πολλά γε πρὸς ἕκαστον ἔστι τούτων ἐπιχειρεῖν διὰ τὸ μὴ πολλὰ τὰ ἀνὰ μέσον εἶναι· ἂν δὲ μὴ τιθῶνται οἱ τῶν ἀρχῶν ὁρισμοί, χαλεπόν, τάχα δ᾿ ὅλως ἀδύνατον. Ὁμοίως δὲ τούτοις καὶ ἐπὶ τῶν κατὰ τοὺς λόγους ἔχει.
Οὔκουν δεῖ λανθάνειν, ὅταν δυσεπιχείρητος ᾖ ἡ θέσις, ὅτι πέπονθέ τι τῶν εἰρημένων. Ὅταν δ᾿ ᾖ πρὸς τὸ ἀξίωμα καὶ τὴν πρότασιν μεῖζον ἔργον διαλεγῆναι ἢ τὴν θέσιν, διαπορήσειεν ἄν τις πότερον θετέον τὰ τοιαῦτα ἢ οὔ. Εἰ γὰρ μὴ θήσει ἀλλ᾿ ἀξιώσει καὶ πρὸς τοῦτο διαλέγεσθαι, μεῖζον προστάξει τοῦ ἐν ἀρχῇ κειμένου· εἰ δὲ θήσει, πιστεύσει ἐξ ἧττον πιστῶν. Εἰ μὲν οὖν δεῖ μὴ χαλεπώτερον τὸ πρόβλημα ποιεῖν, θετέον, εἰ δὲ διὰ γνωριμωτέρων συλλογίζεσθαι, οὐ θετέον· ἢ τῷ μὲν μανθάνοντι οὐ θετέον, ἂν μὴ γνωριμώτερον ᾖ, τῷ δὲ γυμναζομένῳ θετέον, ἂν ἀληθὲς μόνον φαίνηται. Ὥστε φανερὸν ὅτι οὐχ ὁμοίως ἐρωτῶντί τε καὶ διδάσκοντι ἀξιωτέον τιθέναι.