In quello sieno differenti le tre specie de diete

Translation

Note

English translation to be added.

Notes

Note

Notes to be added.

Original Text

Quando vna linea recta fia diuisa secondo la proportione
 hauente el mezzo e doi extremi (che cosi per altro nome dali
 sapienti fia nuncupata la nostra prelibata proportione) se ala sua
 magior parte se agionga la mita de tuta la linea cosi proportio-
 nalmente diuisa. Sequitara de necessita chel quadrato de lor
 congionto sempre sia quincuplo cioè 5 tanto del quadrato de
 dieta mita integrale. Nanze che più oltra se proceda e da chia-
 rire commo dieta proportione fra le quantità la sabia intendere
 e interporre e commo dali sapientissimi in lor volumi fia chia-
 mata. Onde dico lei esser detta proportio habens medium et duo
 extrema cioè proportione hauente el mezzo e doi extremi. qual
 fia propria passione dogni ternario. Peroche qual voi ternario
 asegnato quello sempre bara el mezzo con li doi suoi extremi.
 perche mai el mezzo senza lor se intende. E in tal modo se
 insegna dmidere vna quantità nella 19. del 6. hauendo prima
 descrìpto nella 3. diffinitione del 6. commo cosi diuiderla se
 debia intendere. Benché nel suo 2. per la 11. demostri diuidere
 la linea sotto la medesima virtù e forza non altramente nomi-
 nando proportione fin chel 5. non passasse, e dal Campano se
 aduci fra li numeri nella 16. del 9. E questo quanto ala sua
 denominatione.

 (Gomme se intendino el suo mezzo eli suoi extremi.)
 Inteso comme la nostra proportione per suo particular
 nome fia chiamata, resta a chiarire comme dicto mezzo e anco
 extremi in qual voi quantità se habino a intendere e commo
 bisogna sienno conditionati, acio fra loro se habia a retrouare
 dieta diuina proportione. Per la qual cosa e da sapere commo
 nel quinto se asegna che sempre fra tre termini de vn mede-
 simo genere de necessita sonno doi habitudini o vogliam dire
 proportioni cioè vna fral primo termino el secondo, laltra fral
 secondo el terzo, verbi gratia. Sienno tre quantità de medesimo
 genere (che altramente non se intende esserui fra loro propor-
 tione) la prima sia a. e sia 9. per numero, la seconda b, e
 sia ó. la terza e. e sia 4. Dico che fra loro sonno doi propor-
 tioni luna dal a. al b. cioè dal 9. al 6. la quale fra le commune
 in lopera nostra ehiamamo sexquialtera e fia quando el magior
 termino contene el menore vnauolta e mezza. Pero chel 9. conten 6.
 e ancor 3. qual fia mita del 6. e per questo fia detta sexquialtera.
 Ma perche qui non intendiamo dire dele proportioni in genere
 per hauerne diffusamente apieno tractato e chiarito insiemi con
 le proportionalita nella preaducta opera nostra, pero qui de loro
 non me curo altramente extendere. ma sempre tutto quello in

 commune de lor dicto se habia con loro diffinitioni e diuisioni
 a presuporre. E solo de questa vnica al presente sia nostro dis-
 corso per non trouarse di lei con tale e tanto vtilissimo pro-
 cesso per alcuno esserne inanze tractato. Ora tornando alo in-
 cepto proposito dele tre quantità, e fia ancora dala seconda b.
 ala terza e. cioè dal 6. al 4. vnaltra proportione similmente sex-
 quialtera. Delequali o sienno simili o dissimili al presente non
 curiamo. Ma solo lo intento fia per chiarire, commo fra tre ter-
 mini de medesimo genere se habia de necessita retrouare doi
 proportioni Dico similmente la nostra diuina obseruare le mede-
 sime conditioni. cioè che sempre fra li suoi tre termini: cioè
 mezzo e doi extremi inuariabilmente contene doi proportioni
 sempre de vna medesima denominatione. Laqual còsa de laltre
 o sienno continue ouer discontinue pò in infiniti varii modi
 aduenire. Pero che aleuolte fra lor tre termini sira dupla alcuna
 volta tripla: et sic in ceteris discorrendo per tutte le communi
 specie. Ma fral mezzo ai extremi de questa nostra non e possi-
 bile poterse uariare commo se dirà. Diche meritamente fo la
 quarta conuenientia col sommo opefici. e che la sia connumerata
 fra laltre proportioni senza specie e altra differentia seruando
 le conditioni de loro diffinitioni in questo la possiamo asemig-
 liare al nostro saluatore qual venne non per soluere la legi anzi
 per adempirla e con gliomini conuerso facendose subdito e obe-
 diente a Maria e Joseph. Cosi questa nostra proportione dal
 ciel mandata con laltre sacompagna in diffinitione e condictioni
 e non le degrada anzi le magnifica più ampiamente tenendo
 el principato de iunita fra tutte le quantità indifferentemente e
 mai mutandose commo del grande idio dici el nostro sancto
 Seuerino. videlicet Stabilisque manens dat cuncta moueri. Per
 la qual cosa e da sapere per poterla fra le occurrenti quantità
 cognoscere che sempre fra li suoi tre termini inuariabilmente la
 se ritroua disposta in la continua proportionalita in questo modo,
 cioè chel producto del menore extrerao nel congionto del me-
 nore e medio fia equale al quadrato del medio. E per con-
 sequcntc per la io. diffinitione del quinto dicto congionto de
 necessita sira ci suo magiore extremo. e quando cosi se trounio
 ordinate tre quantità in qual voi genere quelle son diete secondo
 la proportione hauente el mezzo e doi extremi. el suo magiore
 extremo sempre fia el congionto del menore e medio. Che
 possiamo dire dicto magiore extremo essere tutta la quantità
 diuisa in quelle doi tal parti cioè menor extremo e medio a
 quella condictione. El perche e da notare dieta proportione non
 poter essere rationale, ne mai poterse el menore extremo nel
 medio per alcun numero denominare siando el magior extremo
 rationale. Pero che sempre siranno irrationali. commo de sotto
 apertose dira. E questo al terzo modo conuen con idio vt
 supra.

 (Gommo se intendi la quantità diuisa secondo la propor-
 tione hauente el mezzo e doi extrerai.)

 Gap. VIIL

 Dobiamo sapere che queste cose ben notate a diuidere
 vna quantità secondo la proportione hauente el mezzo edoi ex-
 tremi. voi dir di quella far doi tal parti inequali chel producto
 dela menore intutta dieta quantità indiuisa sia quanto el qua-
 drato dela magior parte, comme per la 3. diffinitione del 6.
 dechiara el nostro philosopho. E pero quando mai nel caso non
 se nominasse diuidere dieta quantità. Secondo la proportione
 hauente el mezzo e doi extremi ma solo dicesse el caso farne
 doi parti cosi conditionate chel producto de luna in tutta dieta
 quantità saguagli al quadrato de laltra parte a ehi ben intende
 e in larte sia experto deue el proposito a dieta nostra propor-
 tione redure, pero che altramente non se pò interpretare, verbi
 gratia. Ghi dicesse famme de io. doi tal parti che multiplicata
 luna per io. facia quanto laltra multiplicata in se medesima.
 Questo caso e altri simili operando secondo li documenti da
 noi dati nella pratica speculatiua detta algebra e almueabala per
 altro nome la regola dela cosa posta in la prealegata opera
 nostra se trouana soluto, luna parte cioè la menore esser i5. m.
 R. 125. e laltra magiore fia R. I25. m. 5. Lequali parti cosi
 deseripte sonno irrationali e nellarte se chiamano residui. Deli
 quali le specie asegna el nostro philosopho nella 79. del io.
 esser o. E vulgarmente diete parti se prefereseano cosila me-
 nore quando dici meno radice de centouentieinque. E voi dir
 tal parlare. Presa la R. de i25. qual fia poco più de 11. E

 quella tracta de i5. che restara poco più de 3. O vogliam dire
 poco meno de 4. Eia magiore se proferesci R. de i25. meno 5.
 E voi dire presa la radice de i25. qual e poco più de 11.
 commo e dicto e di quella tracto 5. che restarla poco più de
 6. o vogliam dire poco meno de 7. per dieta magior parte.
 Ma simili acti de multiplicare, sumraare. sottrare partire de re-
 sidui binomii e Radici e tutte altre quantità rationali e irratio-
 nal! sani e rotti in tutti modi per hauerli nella prefata opera
 nostra apieno dimostri in questo non curo replicarli e solo
 se atende a dire cose noue e non legia diete a reiterare. E cosi
 diuisa ogni' quantità sempre haremo tre termini ordinati in la
 continua proportionalita che luna sira tutta la quantità cosi
 diuisa. cioè el magiore extremo. commo qui nel proposto caso io.
 E laltro fia la magiore parte cioè el medio. Gomme e R. i25.
 m. 5. el terzo menor fìa i5 m. R. i25. fra li quali fia la me-
 desima proportione. Cioè dal primo al secondo commo dal se-
 condo al terzo, e cosi per laduerso cioè dal terzo al secondo
 commo dal secondo al primo. E tanto fa multiplicare el me-
 nore cioè o. m. R. i25. via el magiore che e io. quanto a
 multiplicare el medio in se. cioè R. i25 m. 5 che luno e laltro
 producto fìa i5o m. R. i25oo. si commo recercha la nostra
 proportione. E per questo io. fìa dicto esser diuiso secondo la
 proportione hauente el mezzo e doi extremi. eia sua magior
 parte fìa R. i25 m. 5. eia menore fìa i5. m. R. I25 che luna
 elaltra de necessita fìa irrationale, commo se proua per la sexta
 del terzodecimo, e ancora in la vndecima del secondo e 16. del
 9. questo a notitia dela quantità cosi diuisa.

 (Che cosa sia radici de numero e de altra quantità.)
 Cap, IX.

 E perche nel nostro processo spesso acadera nominare Ra-
 dici pero sucinte qui me par chiarire quello importi, auenga
 che diffusamente nellopera nostra ne sia dicto in tutti modi.
 Non dimeno dico la radice de vna quantità essere medesima-
 mente vna quantità laquale multiplicata in se fa quella quan-
 tità delaquale ella fia detta esser Radice e quella tal multipli-
 catione facta in se se chiama quadrato de dieta radice. Commo
 diciamo la R. d. 9. esser 3. e de 16. esser 4. e de 25. esser 5 cosi
 neglialtri e 9. e 16. e 25 sonno detti quadrati. E per questo e da
 sapere che sono alcune quantità lequali non hano R. che per
 numero aponto se possa nominare. Gommo io, non ha numero
 che in se multipHcato facia epso io. aponto. e cosi 11. 12. i3.
 e altri simih. E pero sonno e nascano de doi sorte R. luna
 detta discreta ,0 vogham dire rationale e fia che per numero
 aponto se pò asegnare corno de 9 la R. fia 3. E lai tra e detta
 sorda, e fia quella che per numero non se pò aponto dare.
 Gommo habiam detto dela R. de io. e altri. E queste per altro
 nome son dette irrationali. impero che tutte quelle quantità che
 per numero aponto non se possano asegnare in larte sonno
 dette irrationali. e quelli che per numero se possano dare sonno
 dette rationah. E questo al proposito nostro dele R. basti.

 (Sequela del primo proposto effecto.)