CAPUT VI

DE SUBIECTO FUNDAMENTALI GEOMETRIAE

Ex iis quae supra exponebamus diversae sequuntur conclusiones relate ad naturam huius scientiae, quae est geometria ; atque in his diversa adsunt elementa, quae, ut nobis videtur, momentum habent pro cognitione generali activitatis mentis humanae, momentum noeticum universale igitur. In his adumbrandis saepe redire debebimus ad ea quae supra tractabantur. Incipimus ab iterata comparatione geometriae euclidicae et non-euclidicae.

§ 1. Iterata comparatio geometriae euclidicae et non-euclidicae.

Dictum est (cfr. Gregorianum, 1951, pagg. 432 et 451) : iuxta nostram expositionem « structura euclidica » esset « probabilior quam ulla non-euclidica ». Id nostram sententiam non apte exprimit. Contendimus in extensis, sub quibusdam conditionibus, structuram non-euclidicam inveniri quidem posse, sed in ipsis illis extensis structuram euclidicam esse magis fundamentalem, immo unice fundamentalem, hanc enim esse structuram extensionis ut talis.

Videamus iterum quaedam de historica evolutione. Constat : si (praeter alia axiomata consueta) postulatum V Euclidis ut prima propositio admittitur, sequitur geometria euclidica i. e. extensum in quo hoc postulatum valet, habere structuram euclidicam. Si loco postulati V aliud, ei contradicens, supponitur, excluditur structura euclidica : postulatum requiritur et sufficit. Euclides (IV § 4 n. 9) in una tantum demonstratione postulatum V applicat. Immediate theorema deducit, quod non tantum (modo descripto loc. cit.) notionem directionis rectae continet, sed insuper hanc veritatem implicat : data linea recta, per quodvis punctum extensi (plani) duci potest linea recta (quae nunc intelligitur ut linea constantis directionis) quae eandem (specifice) habet directionem ac recta data ; aliis verbis in extenso quod verificat postulatum V, circa quodvis punctum datur idem (specifice) continuum directionum. Et nota insuper : Euclides (cfr. IV § 4 n. 4) ad definitionem rectae adhibere videtur hanc constantem directionem i. e. modi sui transitus (vel situs) per singula sua puncta. Ceteroquin ipsa vox « linea recta » hoc innuere videtur, et unicum problema est problema eius « existentiae ».

Constat igitur : si in extenso postulatum V valet, id in singulis suis punctis idem continuum directionum habet ; eius extensio hanc habet structuram homogeneam relate ad directiones, habet « isotropiam » ut saepe dicitur. Vice versa ex nostra indagatione noetica propositio conversa resultat : si extensum in singulis suis punctis idem habet continuum directionum, in eo valet postulatum V, consequenter geometria euclidica. Inde dicendum : talis structura requiritur et sufficit ut valeat geometria euclidica, non tantum pro congruentia et consequenter pro libera mobilitate corporis rigidi, sed etiam pro proprietatibus, quae directionem spectant. Si igitur in quadam extensione non valet postulatum V sed loco eius postulatum quodvis non-euclidicum, in illa deest homogeneitas relate ad continuum directionum per singula puncta. (Possunt etiam considerari structurae magis differentes a structura euclidica, scil. extensa, quae non habent constantem curvaturam gaussianam, in quibus nec congruentia in genere possibilis sit, nec consequenter motus corporis rigidi).

Nunc autem haec structura extensionis, sive sit euclidica sive non-euclidica est fons unde profluunt proprietates diversae quae deducuntur sive ex postulato V sive ex postulatis, quae loco huius assumuntur. In methodo classica et in methodo axiomatica haec postulata ut prius nobis cognita vel saltem ut principia assumuntur ut ex eis deductio fiat. Sed non sunt ontologice priora, cum et ipsa profluunt ex diversa illa structura, vel natura, extensionis in qua valent geometriae deductae. Hae igitur structurae sunt fundamentales. Ut valor comparativus diversarum geometriarum dignoscatur, in primis igitur attendere debemus ad hanc structuram fundamentalem extensi relate ad directiones.

Et id fieri potest, immo debet. Nam haec structura nobis est pervia per se, ut in capite IV demonstratum est.

Notio directionis lineae relate ad « spatium » ambiens ad primitivas pertinet, quae definitionis technicae non sunt capaces, sed nec ea indigent quia per se sunt intelligibiles. Et pro directione id valet tum pro lineis sensibilibus, tum (si in eis iam prima exactitudo detecta est) pro lineis exactis i. e. unidimensionalibus ; et dein possunt esse lineae sive sensibiliter rectae, sive etiam sensibiliter incurvatae. Haec igitur notio directionis relate ad ambiens i. e. notio modi transitus per punctum determinatum, in linea situm, est notio quae valet pro lineis illis de quibus dicebamus, sive sensibiliter rectis sive incurvatis, et est vere intelligibilis, ut patet ex diversis iudiciis primis necessariis, quae intuitive de eis habemus. Recolamus quaedam : Dantur modi transeundi linearum per punctum commune, quae sunt differentes, etiamsi lineae inter se sunt congruentes ; haec differentia non est sicut differentia inter quantitates (cfr. IV § 2) ; nam v. g. differentia inter duas longitudines est longitudo sed differentia inter duas directiones non est directio, sicut differentia inter duos colores non est color. Notio directionis est qualitativa sicut notio coloris. Quidem est qualitas in quantitate, inde differentia inter directiones harum linearum causat aliquid quantitativi : si sitae sunt in eadem superficie, maiorem vel minorem partem huius ut limites determinant. Ita differentia inter duas directiones crescere vel diminui cognosci potest ; et id ibi mirabile detegimus, quod haec differentia non potest in infinitum crescere (cfr. IV § 4 n. 2). Et ex his intuitionibus, post stabilitam existentiam lineae exacte rectae, possumus deducere notionem anguli et eius mensurae.

Notio haec directionis pertinet revera ad primitivas et vere a nobis intelligitur, ut ex his iudiciis patet, quae et ipsa sunt iudicia primitiva et necessaria. Sicut in definitione « operativa » ipsius notionis extensionis, quae supra (II § 2 n. 3 ; V § 4 C nota) iustificata est, sic in hoc casu notionis directionis, i. e. transitus per idem punctum, habemus optimam talem definitionem pro hac notione directionis, intellectionem eius claram, quae sese manifestat in illis iudiciis primis, necessariis.

Haec dein applicari potest (IV § 4 n. 4) ad comparandas directiones sive unius lineae sive diversarum, per puncta diversa, unde notiones lineae sensibiliter rectae et sensibiliter curvae definiri possunt in functione notionis directionis. De ipsa notione harum linearum tunc constat, nondum autem de earum existentia i. e. de existentia rectarum et curvarum specificarum. Ut de existentia constet indigemus iterum applicatione principii individuationis, sicut ibi in § 6 elaboratum est.

Nunc tantum ad hoc attendimus : De se extensio in singulis suis punctis idem habet continuum directionum ; eius puncta « solo situ » inter se differunt. Sed per introductionem « curvaturae constantis », sive positivae sive negativae, haec homogeneitas relate ad continua directionum tolli potest ; et ita tollitur structura euclidica huius extensionis. Haec « mensura curvaturae » potest esse tenuis, potest etiam continuo crescere et ita oriuntur structurae quae sunt obiecta diversarum geometriarum non-euclidicarum, quae semper magis et magis distant ab initiali structura euclidica. Immo haec curvatura potest esse, in uno extenso, variabilis ; tunc tollitur non tantum homogeneitas relate ad directiones, isotropia, sed etiam relate ad possibilitatem generalem congruentiae figurarum, et consequenter ad motum corporis rigidi (de his IV § 5). Inde dicimus : in singulis geometriis id quod est fundamentale, est structura extensionis cuius est geometria ; sed inter has structuras ipsas maxime, immo unice fundamentalis est ea cuius « mensura curvitatis » est zero, structura euclidica, non deformata.

Et addendum est, quia hoc interdum negatur : curvatura, quae non est nulla, est curvatura sensu intuitivo, quia oritur ex diversitate continui directionum in singulis punctis, et hae directiones habent sensum intuitivum et intuitive iustificatum. Et ut in initio huius paragraphi videbamus : ubi adest in extensione identitas specifica continui directionum in singulis punctis, ibi adest structura euclidica, et e converso : ubi adest structura non-euclidica, ibi deest haec identitas in continuis directionum intuitivarum ; ibi adest curvatura sensu intuitivo.

Et ita videmus : subiectum fundamentale geometriarum non constituitur a figuris possibilibus quarum proprietates primis principiis exprimuntur, sed a structuris extensionis, ex quibus ipsa illa principia profluunt ; et structura extensionis euclidica non deformata est fundamentalis relate ad alias structuras. Sed structura plene cognoscitur ex figuris, quae in tali extensione possibiles esse per deductionem cognoscuntur.

Nota. Hic adhuc inquirendum esset in illos casus in quibus « curvatura gaussiana » non coincidit cum curvatura sensu intuitivo. Ita v. g. superficies cylindrica vel conica ordinaria habet curvaturam gaussianam, cuius valor est zero ; tamen curvaturam intuitivam habet, sed talem ut « applicari » possint tales figurae ad planum, propter hunc valorem curvaturae gaussianae. Et similes correctiones addendae essent considerationi motus corporis rigidi. Similia dicenda sunt de figuris in « pseudosphaera » quorum motus a Helmholtz considerantur.

§ 2. De extensione ut est subiectum fundamentale geometriae.

A. De extensione corporum.

Ad hanc conclusionem perveneramus : « extensio » et eius structura est subiectum fundamentale singularum geometriarum, non autem figurae in ea delineatae. Et subiectum maxime fundamentale, in sensu bene determinato, est extensio, quae habet structuram euclidicam, extensio, quam vocabamus isomorpham, vel homogeneam, vel “ amorpham „ quae interdum, si de solis directionibus agitur, vocatur isotropa.

Hanc positionem magis dilucidare debemus propter quasdam opiniones, quae saepe proponuntur, et id faciemus ex ipsis his opinionibus. Dicunt enim, obiectum illud non esse extensionem corporum, sed extensionem « spatii », sive potius esse ipsum « spatium ». Hoc termino designatur receptaculum quoddam corporum, i. e. id in quo corpora collocantur, sese mutuo tangunt vel ab invicem distant, et moventur. In illa opinione geometria esset systema notionum et propositionum, quae directe hoc spatium respiciunt ; et ita hoc esset subiectum fundamentale geometriae. Haec autem opinio sustineri non potest, si consideramus, sicut iam in capitibus praecedentibus faciebamus, modum quo mens humana ad notiones et principia geometrica pervenit, inclusa ipsa notione extensionis.

Opinio illa fortiter propugnatur a Poincaré ubi, sensu valde exaggerato, geometriam non esse scientiam experimentalem sustinet ; quae negatio utique etiam sensum legitimum habet. (Cfr. supra II § 3 n. 1-3 ; § 4 n. 2, 3 ; V § 5).

Ait (La science et l'hypothèse ch. V n. 2 pag. 92) : « realizemus circulum materialem, mensuremus eius radium et circumferentiam et conemur videre utrum proportio harum duarum longitudinum sit aequalis numero π ; quid fecimus ? Experimentum fecimus non de proprietatibus spatii, sed de proprietatibus materiae ex qua fecimus hoc rotundum et eius e qua constat metrum quo mensuramus » [1]. Et ita pergit per multas paginas.

Ex omnibus, quae supra dicta sunt, clarum est, non esse tale experimentum, ex quo geometria originem habet. Immo geometria, ubi applicatur, inservit ad evitanda talia experimenta. Verum quidem est id quod Poincaré asserit, hoc experimentum non de spatio fieri, sed de proprietatibus corporum ; sed eo magis urgere debemus, hic non agi de quacunque proprietate, sed de una sola, quam « extensionem » dein vocamus ; et valde urgendum est, hic agi de nexibus inter extensa, quae ut necessaria a nobis cognoscuntur ; in hoc non deficit experimentum, quidem in exactitudine relationum.

Haec dein a Poincaré magis evolvuntur, et in fine pervenit ad quaestionem, quae est maioris, immo decisivi momenti. Ait (n. 7 pag. 101) : « forte dicitur : si experimenta respiciunt corpora, respiciunt saltem proprietates geometricas corporum » (« direz-vous que, si les expériences portent sur les corps, elles portent du moins sur les propriétés géométriques des corps ? »). Revera ita tandem aliquando tangit ipsum problema. Sed eius solutionem non videtur tangere. Nam pergit : « et primo, quid intenditur per verba « proprietas geometrica » corporum ? Suppono hic agi de relationibus corporum ad spatium etc. » (« je suppose qu’il s’agit des rapports des corps avec l’espace etc. »). Et id, quamquam ut sufficiens responsum declaratur, dein magis evolvitur.

Quae citavimus sufficiunt, post omnia, quae supra videbamus (vide praesertim II § 3, 4 ; V § 5 A), ut veram solutionem detegamus. Si quis quaerit : quae est definitio termini « proprietas geometrica corporum », responsum iam invenitur inde ab initio expositionis nostrae, ubi de problemate necessitatis agebatur. Experimentum initiale est hoc : in corpore delineare possumus figuram (quae indicat divisionem corporis). Id quod dein ut proprietas corporum affirmatur, iuxta formulam Cartesii : « corpus est figurabile ». Sed huic experimento associatur intuitio intellectiva, quae videt hanc relationem esse necessariam et ideo universalem. Immo haec intuitio ex eo provenit, quod simul intelligimus, proprietatem « figurabilitatis » unice profluere ex determinata proprietate corporis, unice i. e. ex nulla alia (ut colore etc.), et hanc proprietatem dein vocamus nomine « extensionis ». Videbamus saepius eam esse genuinam « definitionem operativam » extensionis. Et id magis patet ex casu simili quidem sed contrastante, ubi simili modo proprietatem quandam affirmamus : « hoc corpus est electrizabile per frictionem ». Sed haec proprietas huius corporis nobis tantum innotescit ut factum pure experimentale, id necessarium esse non videmus ; et similiter (vel propter hanc rationem) ex quanam proprietate corporis « electrizabilitas » profluat, ex hoc solo experimento totaliter nos latet (haec proprietas primo videtur esse inventa in corpore, quod graece ἤλεκτρον vocatur ; inde nomen). Utraque affirmatio ex experimento habetur, sed in uno casu, « casu geometrico », observationi associatur intuitio abstractiva intellectiva, in altero, in « casu physico », haec deest. Inde immensa diversitas noetica inter utrumque experimentum. Si quis hoc datum conscientiae nostrae negligit, et id fit apud Poincaré (et tot alios !) errores infallibiliter sequentur.

Plus etiam dein inveniebamus, ea scil. quae respiciunt problema exactitudinis ; quomodo id, in solis casibus geometricis, non in casibus physicis, solvatur, etiam late supra expositum est. Ibi etiam clarum factum est, in ipsis casibus geometricis non semper, immo sat raro, transitum directum a datis sensitivis inexactis ad statuendam exactitudinem relationum legitimum esse. Id directe fieri potest in paucis casibus ; supra videbamus legitimitatem in statuendo indivisibilitatem limitum extensorum, in quantum iacent inter partes extensas, quarum sunt limites ; dein in casibus qui dependent ab intellectione extensionis ut est principium individuationis ; qui sunt casus congruentiae figurarum et casus existentiae quarundam figurarum exactarum. (Non agebamus de quibusdam aliis, speciatim de comparatione longitudinum linearum diversae curvaturae).

Semel acquisitis primis hisce principiis exactitudinis figurarum, haec applicari possunt in diiudicandis aliis datis sensitivis. Sicut in axiomatica exactitudo supposita axiomatum per ipsum ratiocinium transit in conclusiones, ita haec exactitudo iustificata principiorum in casus ad quos applicari possunt. In exemplo quod Poincaré ponit, de determinatione numeri π ex comparatione longitudinum radii et circumferentiae certo non possumus legere hunc valorem pro hoc casu determinato, minus etiam pro casu universali proportionis inter longitudines circumferentiae et eius radii, sive in geometria euclidica sive in non-euclidica. In hoc sensu Poincaré optime dicit, geometriam non esse scientiam ex experientia derivatam ; sed perperam omittit considerationem duplicis problematis, necessitatis et exactitudinis, quibus distinguuntur « casus geometrici » a « casibus physicis » ; et omittit considerationem casuum in quibus haec problemata directe solvi possunt.

Si hi casus debite considerantur, invenimus responsum clarum ad eius interrogationem : quid intenditis per « proprietates geometricas corporum ». Non sunt eorum « relationes ad spatium » sed sunt relationes, quae deteguntur in singulis corporibus ipsis, et quidem ut relationes necessariae, et absolute exactae, non obstante imperfectione datorum sensuum, qui non possunt nisi facta referre, et connexiones inexactas. Atque hae relationes, necessariae et exactae, ita deteguntur, ut ex eis, per intuitionem intellectivam, habeamus definitionem, i. e. determinationem strictam, extensionis. Nam hae proprietates corporum ipsorum, quae iure affirmantur in primis propositionibus, sunt proprietates eius quam in corporibus vocamus eorum extensionem. Et haec extensio ita definita est subiectum fundamentale scientiae, quae has propositiones primas deductione evolvit, geometriae — inde hae proprietates corporum vocantur eorum proprietates geometricae — et, si subiectum stricte fundamentale quaeritur, haec extensio sese revelat ut de se homogenea, isotropa, euclidica. Et hae relationes geometricae innotescunt antecedenter ad notionem spatii et independenter ab ea.

B) De spatio.

Non omnis usus termini « spatii » nec omnis usus notionum, quae huic termino correspondent (nam non est unica notio) spernendus vel carpendus est. Poincaré supponebat (et permulti id cum eo facere videntur) proprietates geometricas esse « relationes corporum cum spatio », « des relations des corps avec l’espace » ; et id a Poincaré ut definitio « proprietatis geometricae » proponebatur. Proprietates geometricae ex proprietatibus spatii hauriendae et iustificandae esse videntur. Sed in veritate res inverso modo sese habet.

Quomodo haec notio « spatii in quo corpora collocantur » introducitur et quomodo consequenter interpretanda est ? Est quaestio philosophica, immo quaestio, quae in philosophia tum systematice tum historice est et fuit summi momenti [2].

Ex eis, quae in his libris exponuntur, patet : 1) in realitate corpus est natura prius quam locus, in quo est, prius etiam quam motus eius secundum locum ; sed etiam 2) ante omnem notionem loci et a fortiori ante omnem notionem « spatii in quo corpora collocantur » in mente humana adest et intelligitur notio extensionis corporum. (Iuxta Aristotelem homo ex cognitione motus pervenit ad notionem loci Phys. IV 1, 4). Immo haec notio extensionis pertinet ad prima intellecta mentis humanae ; immo iuxta S. Thomam est (cum primis principiis arithmeticis) primissimum quod ab homine plene intelligitur. Eorum enim notitia est iuxta eum origo omnis scientiae humanae, non tantum scientiae mathematicae (cfr. Théorie du Jugement, Introduction, ch. V § 2, § 5, in ed. 2 pagg. 1, 164, 188). Atque haec notio non tantum — id supra abundanter expositum est — ducit, post intellectam « figurabilitatem » corporum profluentem ex eorum extensione, ad principia geometriae, sed insuper post intellectam aliam relationem necessariam, ut statim dicetur, ad principia, quae relationes locales respiciunt. Extensio ut est origo, subiectum fundamentale, geometriae saepe « spatium » vocatur ; hic usus est potius abusus (cfr. supra II § 2 n. 2, IV § 2, contra Russell, cfr. etiam Gregorianum, 1951, pag. 441 ; Filosof. della nat. inorg. pagg. 131 sqq.). De hoc usu vocis « spatii » non opus est ut plus dicamus, eius sensus est idem ac sensus vocis « extensionis ».

Sed dantur aliae proprietates extensionis corporum, quae ducunt ad notiones et principia, quae « collocationem corporum » respiciunt ; et haec principia et notiones poterunt ducere ad notionem « spatii in quo corpora collocantur et moventur » ; quae tamen notio caute manipulanda est.

Prima inter has proprietates iam supra (V § 4 n. 2 pag. 176) breviter indicata est. Ex experientia quotidiana nobis notissimum est ut factum : duo corpora sese tangere, secundum superficies coincidere possunt et tunc sunt « praesentia » ad invicem, possunt tangere tertium corpus intermedium, vel seriem talium corporum, et tunc resultat « distantia » inter haec corpora extrema. Et ita ex contactibus mutuis systema corporum, immo integrum universum, secundum suam « topographiam » componi potest, et componitur.

In hac consideratione unum praesertim est clarum : haec possibilitas contactuum et eius quod resultat, non tantum ut factum nobis est notum, sed vere intelligitur ; intelligitur possibilitas contactus profluere ex extensione corporum, et ex ea sola (non v. g. ex colore) et ex ea necessario ; eodem modo ac figurabilitas intuitive intelligitur ex extensione profluere. Nunc ad pauca quaedam attendamus ; unum est, nos intelligere esse eandem proprietatem, ipsam extensionem, ex qua figurabilitas et ex qua, dicamus, « locabilitas » profluit ; hic videmus, ex uno subiecto duo propria distincta profluere posse, quae dein principiis independentibus ab invicem affirmantur ; id noetice momentum habere videtur. Alterum est : in divisione extensionis primo intelligimus figuram resultare, et dein proprietates huius figurae inquirere possumus ; et eas invenimus. Ita intelligimus id quod ex contactibus corporum resultat. Et id sese manifestat ut systema extensum maius, cuius extensio intelligitur habere similitudinem cum extensione unius corporis, eisdem « legibus geometricis » subiacet. (Tanta est similitudo ut ex confusione utriusque obiecti celeberrima quaestio philosophica « continui » et « contiguorum » orta sit. De hac quaestione cfr. Cosmologia Lib. I cap. I art. 1, in ed. 4 pagg. 7-40 ; Filos. d. nat. inorg. cap. II § 1 pagg. 57-72). Propter hanc igitur similitudinem, sine ulla quaestione intelligitur, eandem geometriam valere de hoc extenso composito ac de extensione unius corporis eiusdem magnitudinis. Si extensa quae ita se invicem tangunt, habent structuram euclidicam, systema quod oritur, in infinitum augeri posse intelligitur.

Contactus inter corpora, quem hucusque considerabamus, supponebatur esse contactus fixus, sed intelligitur, iterum intuitive, possibilitas contactus fluentis ex quo profluit motus corporum (necessario relate ad invicem) et haec intuitio est origo scientiae cinematicae, quae non est pure geometrica (quia in causam efficientem motus et in eius durationem inquirit), quae tamen est geometriae valde affinis. Unum problema hic nominamus, quod pertinet ad sensum vocis « spatii ». Quaestio enim orta est, iam inde ab antiquitate, de possibilitate motus in mundo pleno ; a nonnullis ea possibilitas negatur, sed etiam systemata constructa sunt, quae possibilitatem motus in pleno explicant (Vide systemata historice proposita in Filos. d. nat. inorg. pagg. 137 sq.).

Tale systema extensum integrale, quod vocari potest « topographia universi », interdum vocatur « spatium », et absque dubio geometria de eo valet, sed ideo quia est extensum, valet de eius extensione. Proprietates geometricae non definiuntur per relationes corporum ad hoc spatium, sed vice versa, huic spatio tribuuntur iure proprietates geometricae corporum extensorum, propter extensionem quae ex contactibus resultat. Et de structura huius spatii cum sensu quaestiones poni possunt.

Sed vox « spatii » per excellentiam in alio sensu adhibetur, scilicet ut receptaculum quoddam corporum, quod praerequiritur ut haec existant, collocentur, et moveantur ; et ita quidem ut hoc spatium sit extensum, quod de se necessario existit, consequenter, etiam si omnia corpora supponuntur destrui, necessario remanet ; sicut in imaginatione nostra corpora, ibi collocata, disparere possunt, sed non spatium imaginatum in quo collocabantur. Hoc « spatium » agnoscitur ut aliquid irreale, ut « ens rationis » ut dicunt scholastici, « ein Unding » ut Kant dicebat. Clarum est extensionem corporis realis et eius « proprietates geometricas » non posse derivari, nec realiter nec in cognitione nostra, ab hoc « spatio ». Relationes in quantum adsunt, sunt inversae i. e. huic « spatio » tribuuntur proprietates, quae receptaculo corporum conveniunt, ut ope harum proprietates reales, localisationis et motus, apte describi possint. Inde hoc « spatium » apte a scholasticis vocatur « ens rationis » cum addito « cum fundamento in re », quia inservire potest ad tales descriptiones relationum realium. Sed clarum est, hoc spatium irreale non posse inservire nec ad constituendas nec ad definiendas « proprietates geometricas » sicut Poincaré statuit. (De his vide plura in operibus supra nominatis in capitibus ibi indicatis).

Intuitiones, quas in hac paragrapho breviter (et alibi per longum et latum) describimus tanquam originem cognitionis nostrae relationum collocationis et motus localis, pertinent ad antiquam doctrinam S. Thomae ; et haec videtur esse unica quae iustificatur in analysi eorum, quae nos etiam hodie post tantam evolutionem scientiarum, in mente nostra detegimus. Sed post S. Thomam paulatim oblivioni dari videtur, quamquam hae intuitiones dirigunt activitatem ordinariam mentis ; oblivioni datur, non tantum apud permultos scholasticos, sed etiam, et in genere, apud modernos philosophos et physicos.

Sed eas iterum invenit Einstein in suis meditationibus de hac materia. Etiam iuxta Einstein primum quod in hac materia cognoscitur, est, antecedenter ad notionem spatii, ipsum corpus extensum ; post stabilitam notionem corporis, in experientia necessario invenimus relationes locales (Lagen-Beziehungen) inter ea. Et hae relationes sunt relationes mutui contactus. Et id quod nos describimus (deuten) tanquam relationes spatiales inter corpora non est aliud ; primum est conceptus corporis, dein venit conceptus relationum spatialium, tertio loco tantum conceptus spatii. Et est praecise id quod supra relate ad hanc materiam statutum est [3].

Et ita perfecte redimus ad doctrinam S. Thomae ; etiam in hac materia geometriae affini, subiectum fundamentale est extensio corporum nobis intuitive intelligibilis ex datis experimentalibus, ex phantasmate.

Hinc manifestum esse videtur, quod usus vocis « spatii » tum pro « extensione », subiecto fundamentali geometriae, tum pro « receptaculo praerequisito, in quo corpora collocari debent et moventur », carpendus est (cfr. supra II § 2 n. 2) ; est potius abusus, inducere potest in errores. Insistamus igitur in hoc : subiectum fundamentale geometriae est : extensio corporum.

C) De independentia relativa notionis extensionis ab experientia.

Origo geometriae est igitur empirica ; dependet ab experientia i. e. a datis sensitivis. Sed pro geometria (et pro arithmetica etc.) characteristicum est, quod non, sicut obtinet pro « casu physico », est pure experimentalis in principiis ; nam adest etiam quaedam independentia ab experientia sensibili ; et haec est summi momenti noetici, tum in construenda ipsa geometria, tum in ea applicanda, tum et praesertim relate ad noeticam generalem. Nam — et haec est praecise differentia a « casibus physicis », ut saepe dictum est — huic experientiae associatur intuitio necessitatis illius nexus qui ab experientia datur. Haec si considerantur demonstrant etiam certam independentiam, summi momenti, a datis sensitivis, demonstrant autonomiam ipsius intuitionis pure intellectivae, tum quoad necessitatem tum quoad exactitudinem relationum, quae affirmantur. Relate ad exactitudinem haec independentia sive autonomia in quibusdam tantum casibus directe habetur, sed per deductionem dein ad alios derivatur. Haec speciali consideratione digna sunt. (De his cfr. Théorie du Jugement ch. VI praesertim § 5).

Id sese in reflexione etiam praescientifica manifestat. Comparemus affirmationem primam geometricam cum simili in casu physico. Observantes figuram quam causamus in corpore, affirmamus « corpus est figurabile » ; observantes attractionem parvorum corpusculorum a virga vitrea, post eius frictionem, affirmamus « corpus est electrizabile ». Interroganti quare hoc affirmamus, in secundo casu respondemus : « quia hoc video » (et solum quia hoc video, et hoc motivum accuratius examinandum est). In primo casu respondemus : « quia hoc intelligo ». Ulterius progredi possumus. In primo casu addere possumus : « corpus est figurabile, quia extensum » ; in secundo casu nihil tale addere possumus ; interroganti « quare est electrizabile » responsum immediate dari non potest. Et ideo in primo casu scimus nos affirmare nexum necessarium, in secundo casu nexus non ut necessarius cognoscitur, potest esse contingens. Et quia sensus tantum facta referunt, non necessitatem, ideo iam clarum est, in casu geometrico, praeter data sensitiva aliquid adesse debere, quod soli intellectui debetur. Hanc diversitatem inter « casum physicum » et « casum geometricum », vel inter « experientiam sensitivam geometricam » et « experientiam sensitivam physicam » iam in reflexione praescientifica detegimus.

Etiam alio modo haec differentia sese manifestat in vita praescientifica. Experimentum geometricum requisitum in sola imaginatione iam valide perfici potest. Si in imaginatione corpus per figuram dividimus (sufficit parva linea) affirmare possumus : corpus, quia extensum, est figurabile, est necessario figurabile, ideo universaliter figurabile. Experimentum est pure mentale. Id non iam valet in « casu physico » : virga (vitrea) in experimento externo per frictionem est electrizabile i. e. attrahit parva corpuscula. Tale experimentum etiam in sola imaginatione facile perfici potest ; nimis facile. Nam optime nobis imaginamur virgam cupream post frictionem attrahere parva corpuscula. Et si dein affirmamus « est electrizabile per frictionem », erramus. In casu physico revera unicum motivum quod valorem (qui examinari debet) habet, est : quia video.

Et etiam attendendum est : Haec differentia noetica inter utrumque casum non ex eo provenit, quod in « casu geometrico » imaginatio nostra necessitatur, in alio casu non. Nam ut supra iam indicatum est (III § 2 n. 5 A), in quibusdam casibus geometricis invenimus necessitatem in phantasmate, quae negatur in iudicio mentis. Si imaginatio nobis proponit lineam quae, superficiem in duas partes dividit, haec linea in phantasmate latitudinem habet, et quidem necessario, nam sine latitudine imaginatio eam praesentare non potest. Affirmamus tamen in intellectu lineam, limitem inter duas partes superficiei, carere latitudine, necessario. Intellectus superat data sensitiva, non tantum relate ad necessitatem (tantum facta referunt) sed etiam relate ad exactitudinem, secundum quam data sensitiva corrigit. Et intellectus necessitatem tribuit relationibus exactis, quas detegit, non quia phantasma necessitatur, sed quia hanc necessitatem in obiecto sibi a phantasmate deficienter proposito, detegit quoad exactitudinem, non obstante imaginatione.

In intellectu igitur adest quaedam autonomia relate ad data sensitiva, quaedam independentia ab eis. In « casibus geometricis » in oppositione ad « casus physicos » intellectus hac autonomia gaudetur. Quaenam in illis casibus est functio sensibilitatis ? Unica eius functio est : praesentare obiectum (relationem concretam corporis extensi ad figuram in eo delineatam) intellectui qui sine phantasmate cogitare non potest ; hoc obiectum complexum dein in conceptum mentis, etiam complexum, assumitur ; et in obiecto intellecto (concepto) mens detegit id quod dein affirmat, iustificat, dicendo « ita est ». Manet dependentia quaedam a datis sensitivis, ab experimento, sed unice in hoc sensu, quod experientia materiam de qua mens iudicat suppeditat. Si idem conceptus complexus, eadem dispositio rei, in mente adesset, quin ex sensu desumeretur, vel quin homo huius originis sibi esset conscius, iudicium « ita est » maneret idem, et iustificatum ex solo contento conceptus, autonomum et in hoc casu omni ex parte independens a sensu. Id simpliciter « constatamus » per simplicem reflexionem in activitatem mentis nostrae.

Ex eis quae inveniebamus, decisive iudicare possumus de diversis considerationibus, quae in hac materia dependentiae geometriae ab experientia a diversis proponuntur.

Saepe in investigando problemate, quomodo et in quo gradu veritates geometricae dependeant a datis sensitivis, a « phantasmate », describuntur inquisitiones psychologicae empiricae in modum quo sensationes hominis oriuntur et quomodo imagines sensibiles eiusdem obiecti in diversis circumstantiis diversae esse possint. (Poincaré id quoque facit in opere supra citato et saepe alibi). Ut patet, in his investigationibus et discussionibus, notiones, quae extensionem spectant et quae ex extensione sequuntur (dimensionum, distantiarum et ita porro) ut notae iterum iterumque adhibentur. In his investigationibus etiam magnus valor tribui videtur modo quo, ex combinatione actionum diversorum sensuum, visus praesertim et tactus, imagines oriantur. Et ita multum contingentiae et multum inexactitudinis in eis detegitur, quod, si geometria ex experientia originem habere debebit, eius valorem simili modo deprimere videtur.

Haec, quamquam sunt utilissima et pro scientia psychologica magnum valorem habent, ad nostrum problema absolute nihil conferre videntur. Investigatio noetica, quae incipit ab eo momento, in quo in corpore eius attributum, quod dein « extensio » vocabitur, sese ut intelligibile in se (non propter suam originem) revelat, ad hanc conclusionem ducit : geometriam non dependere a datis sensitivis, experimentalibus, nisi sicut a materia, de qua intellectus iure plene autonomo iudicat ; si haec materia, prout est in intellectu, in conceptu, non proveniret ex sensibus, principia geometriae manerent sicuti sunt ; nam iudicia geometrica iustificantur ex sola intuitione intellectiva 1) necessitatis nexus in dispositione rei concepta, 2) exactitudinis earum relationum agnitae in conceptis, non obstante eius absentiae in imaginibus sensitivis. Et consequenter id transit in conclusiones, quamquam et in his deductionibus continua appellatio ad phantasma, quod quoad exactitudinem corrigendum est, requiritur. Nullo modo requiritur cognitio modi quo sensus operantur, minus etiam theoriae, quae has operationes sensitivas, quoad modum et valorem, explicat. E converso talis inquisitio in activitatem sensuum et eius valorem noeticum tantum post cognitionem naturae et valoris operationum intellectus, quibus materiam praebent, institui potest. (De his cfr. Théorie du Jugement Ch. IV § 5).

Incipit, ut dictum est, investigatio in activitatem intellectus geometricam, non a consideratione eorum quae in sensibus praerequiruntur (quamquam ea praecedere novimus) sed inde ab ea repraesentatione intellectiva in qua in corpore repraesentato detegimus primam relationem necessariam, primam intelligibilitatem, relationem scilicet dependentiae « figurabilitatis » ab alia proprietate corporis repraesentati, quam vocamus « extensionem ». Ibi simul detegimus « quid sit extensio » et aliquod eius proprium necessarium : ibi habetur origo geometriae, in intellectu, et haec relatio ad figurabilitatem est prima « proprietas geometrica ». Hic intellectus quidem dependet a datis sensitivis, sed tantum ut a materia de qua agit, ut dispositio rei quam iure autonomo diiudicat ex eius intelligibilitate sola.

Haec etiam clariora fiunt ex comparatione cum « casibus physicis », quae ideo opponuntur « casibus geometricis » quod in illis ea independentia relativa a datis sensitivis deest. Haec diversitas noetica enormis inter utrumque typum scientiae, est datum immediatum conscientiae nostrae ; si de origine utriusque cognitionis, physicae et mathematicae, ex experientia sensitiva eodem modo iudicamus, sacrificamus illud datum pretiosissimum et simul sacrificamus independentiam relativam relationum geometricarum a datis sensitivis ; id quod constituit errorem gravem. In applicatione geometriae ad extensa physica exactitudinem utique salvare non possumus ; sed et ibi distinctio maximi momenti facienda est.

Salvari non potest in quantum mensurae figurarum et distantiarum, etiam in se exactarum, a nobis, qui dependemus a sensibus et a legibus physicis (quae exactitudinem mensurae impedire possunt) exacte sumi non possunt ; nos in mensurandis eis, quae mensurari possunt, et in se perfecte mensurari possunt, deficere debemus. Sed in omnibus casibus, ubi de ipsis legibus geometricis agitur, scimus has leges exacte valere, non tantum in se, pro extensione « abstracta », sed etiam pro extensione reali in mundo corporeo. Inde in constructione scientiae physicae tum experimentalis, tum theoreticae, manet influxus huius diversitatis noeticae inter « geometrica » et « physica ». In illa constructione applicamus leges geometricas (et arithmeticas etc.) et leges physicas iam antea inventas. Scimus primas leges exacte valere, nec correctione indigere sive pro magnis obiectis physicis sive pro parvis vel etiam minimis physicis. Nam sunt extensa. De lege autem pure physica, quae alias proprietates corporum, praeter extensionem (et multitudines) spectat, quae igitur ex sola experientia, sine intuitione intellectiva associata [4], nobis innotescit, etiamsi haec lex formula mathematica exacta exprimitur, nescimus utrum exacte valeat de obiectis determinatis, nam ibi intellectus non superat inexactitudinem datorum sensitivorum. Et ita fieri potest ut lex, quae pro mediis valoribus sat accurate valet, pro extremis magnis vel minoribus correctionibus indigeat, immo in minimis v. g. totaliter deficiat. Lex geometrica proportionalitatis superficiei sphaericae ad quadratum eius radii perfecta exactitudine valet tum pro maximis tum pro minimis, inexactitudo ibi tantum spectat cognitionem nostram obiectorum ad quae applicatur. Sed lex similis attractionis newtonianae de simili proportionalitate (inversa) vis attractivae, forte (immo probabiliter) est tantum approximative exacta, immo forte in minimis distantiis totaliter deficit (cfr. Cosmologiam ed. 4 pagg. 593 sq.) ; in hoc « casu physico » in tali suppositione nihil absurdi admittitur. Supponere autem legem geometricam in minimis deficere, est absurdum ; nam de « extensione », subiecto fundamentali geometriae, constat eam manere in infinitum divisibile in « extensa » quae habent proprietates « extensionis » ; in geometricis « intelligimus », intelligimus quoque exactitudinem, in « casibus physicis » ex solis datis sensitivis, non intelligimus, id est praecise profunda diversitas inter utrumque « casum ». Et ita revera manet diversitas noetica inter has duas classes cognitiones, quae ex experientia sensitiva oriuntur.

§ 3. De extensione successiva [5].

1. De ipsa notione et eius propriis.

Subiectum geometriae fundamentale est extensio corporum. Praeter hanc autem datur et alia extensio, quae vocari potest extensio successiva, fluens, dynamica ; et est duratio motus corporum. Extensio corporum, ut est opposita durationi, vocatur permanens, fixa, statica. Inter has duas extensiones invenitur stricta analogia ; habent proprietates communes, et inde dantur propositiones geometricae, quae intelliguntur statim valere pro extensione fluente. Sed dantur quoque magnae discrepantiae inter duas extensiones. Iuverit hic transcribere quaedam quae in articulo citato, partim magis elaborata inveniuntur.

In motu locali duplex invenitur extensio (praeter extensionem ipsius mobilis). Una est ea, quae est extensio traiectoriae, itineris quod mobile percurrit ; haec est extensio loci, permanens, statica, quae in theoria loci investigatur. Altera est extensio fluens motus. Prior est ipsi motui extrinseca, alia est ei intrinseca, et vocatur eius duratio. Datur quaedam dependentia alterius extensionis (fluentis) a priori (permanente). Iuxta doctrinam Aristotelis actus ille, qui est motus, suam continuitatem et ordinem partium haurit ex « magnitudine », quae est via, traiectoria. Tamen, hac dependentia praesupposita, agnoscenda quoque est certa independentia ; duratio non est determinata per solam longitudinem traiectoriae, variatur etiam, modo inverso, secundum velocitatem motus. Immo, si agitur de motu alterationis, qualitativo, et continuo, de intensione et remissione continua alicuius qualitatis, ibi quoque agnoscenda est extensio stricte dicta fluens, i. e. duratio, quamquam intensitas non est quantitas proprie dicta, extensiva.

In utroque casu duratio est quantitas stricte dicta, extensiva, et eius propria habet. Durationes ad invicem addi possunt, et haec additio est operatio quantitativa stricte dicta : ex ea resultat duratio maior sicut ex additione lineae ad lineam oritur linea maior. Ita in motu oscillatorio, motus totus, ex multis oscillationibus contiguis compositus, habet durationem, quae est summa durationum oscillationum singularum. Et si singulae hae oscillationes sunt inter se congruentes (id in modernissimis horologiis oscillatoriis cum magna, non utique cum « infinita », exactitudine realizatur) duratio motus, qui ex n oscillationibus componitur, calculari potest multiplicando arithmetice per numerum n valorem durationis unius. Ita modo inverso : differentia duarum durationum, etiam in alteratione, est duratio ; quamquam differentia inter duas intensitates non est intensitas. Haec sunt principia per se intelligibilia, quae spectant durationem, extensionem fluentem.

Possibilitas motuum inter se congruentium, quae supra supponebatur, inde constat, quod haec extensio fluens intelligitur esse « principium individuationis » pro « figuris » in ea possibilibus, sicut extensio permanens id est pro figuris geometricis (cfr. supra IV, § 2, 3 et Gregor. 1951, 447-450. Cfr. etiam opus nostrum Filosofia della natura inorganica, Brescia, 1949, p. 207).

Haec convenientia inter extensionem linearum geometricarum et extensionem fluentem ex eo provenit quod utraque est veri nominis extensio ; inde habent propria communia.

Sed dantur quoque discrepantiae inter utramque extensionem.

  1. Fundamentalis differentia haec esse videtur : Duratio est extensio pure existentialis, est extensio illius esse fluentis quod est motus ; qui est existentia fluens, non eam habet. Si agitur de motu locali, etiam ipsum « ubi » staticum iam est actus existentialis (cfr. Cosmol. nn. 45, 47, 59 ad 3, 162, et notam VI) sed staticus, cui correspondet motus tanquam actus fluens. Sed ipsa extensio loci, ex quo « ubi » sumitur, est extensio permanens corporis, systematis coordinatarum realis ; haec extensio est determinatio in ordine essentiae, essentiae utique realizatae. Haec extensio, ut iam dictum est, est motui extrinseca, extensio fluens est motui intrinseca, est duratio quae nullo modo invenitur directe in aliqua quidditate, sed est pure existentialis. Haec differentia inter utramque extensionem videtur esse maxime fundamentalis. Videamus alias discrepantias.

  2. Extensio corporis, nobis ex datis sensuum nota, est tridimensionalis (vide supra III § 2 nn. 2-4. E contra duratio, quae haberet duas vel plures dimensiones, in se caret intelligibilitate, non est in re, quia inintelligibile. Inde unicitas dimensionis in duratione alio modo sese habet ac in recta geometrica. Haec est limes in plano, quod est limes extensi tridimensionalis dati. Inde ingens differentia inter utramque extensionem unidimensionalem profluit. Recta geometrica in plano potest habere diversas directiones relate ad alias rectas ; recta quae per determinatum punctum transit, simul cum aliis, differt ab illis ipso modo transeundi, differt directione in plano. De hac directione plura habemus principia nobis per se, statim, intuitive, intelligibilia, quae ad fundamenta geometriae pertinent, et non sine periculo errorum, negliguntur (Cfr. supra IV § 4 nn. 2, 3, VI § 1, et Gregor. 1949, 448). Ita v. g. ex inspectione phantasmatis statim intelligimus : diversitatem inter directiones per unum punctum (modorum transeundi per hoc punctum) variari posse ; differentia inter directionem lineae stabilis et alterius variabilis crescere potest sed non in infinitum, post unam « revolutionem » directio variabilis in primam directionem reincidit. Directio ipsa non est quantum stricte dictum, nam differentia inter duas directiones ipsa non est directio, tamen causat aliquid quantitativi, scilicet angulum ; circa singula puncta adest fascis continua linearum, adest id quod vocamus « continuum directionum », et quidem per se idem specifice continuum in singulis punctis. Haec manifestant intelligibilitatem notionis directionis, quamquam haec, ut primitiva, non potest definiri.

Haec omnia desunt in illa dimensione unidimensionali, quae est duratio ; duae durationes, quae in uno ex earum punctis facerent « angulum » inter se, sunt quid absurdi. Durationes non sunt limites in « duratione » quadam plurium dimensionum ; duratio non est extensio sita in altiori extensione.

  1. Est et alia differentia inter utramque extensionem unidimensionalem ; atque haec adesset etiamsi mundus noster esset ita unidimensionalis ut eius extensio non esset limes in altiori extensione. Et haec differentia est maximi momenti ad intelligendam structuram topologicam durationis. In hoc mundo lineari adhuc adessent duae directiones. Iam non adessent diversae directiones de quibus supra scilicet directiones diversae relate ad planum ; sed in ipsa linea unica adhuc adsunt duae directiones oppositae, si unam vocamus « ad dextram » alia erit « ad sinistram » ; sic via quae sita est inter Athenas et Thebas, habet directionem a prima civitate ad alteram, et viceversa ; et motus realiter diversi secundum directiones oppositas sunt possibiles. Haec oppositio inter duas directiones oppositas in duratione non adest. Utique possumus mentaliter redire in praeteritum, sed in duratione reali talis reditus realis est impossibilis ; duratio fluit necessario in unam tantum directionem, a praeterito in futurum ; atque id pertinet ad prima, intuitive, intelligibilia. Motus inverti possunt, eorum durationes non ita ; duratio ipsius motus circularis non est circularis, sed « recta ». Duratio est necessario irreversibilis. Et ex hisce in media analogia inter duas extensiones aliae discrepantiae profluunt.

Omnis quantitas — etiam quantitas virtutis — mensuratur per « unitatem », quae est « homogenea » cum ipsa quantitate mensuranda. Aristoteles (Met. X c. 1 1053 a 25) unitatem mensurae vocat « metrum » ; et iure exigit tale metrum, ut sit συγγενές quantitati mensurandae ; mensura debet esse in eodem genere ac mensurandum, debet esse « homogenea ». Dein : metrum est natura sua id quo quantitas rei cognoscitur ᾧ τὸ ποσὸν γιγνώσκεται (1052 b 20, S. Thomas l. 2 n. 1938). Quaerimus : quaenam quantitas ita cognita redditur ? Non ipsum genus ; huius cognitio praesupponitur, mensura et mensurandum debent esse eiusdem generis, homogenea, et id praecognosci debet [6]. Operatio mensurandi dein revelat speciem (specialissimam, ἄτομον, individuam) quantitatis concretae quae mensuratur. Propter confusionem quae interdum adest apud moderniores, id explicite memorandum est. Immo etiam animadvertendum erit : haec quantitas species non efficitur ab operatione mensurandi, sed ab ea detegitur in obiecto in quo iam aderat ; eius cognitio utique ita efficitur.

Et exprimitur ope numerorum i. e. numero (integro vel fractionario) unitatum, quorum summa aequalis est quantitati mensurandae. Animadvertimus hanc determinationem in quantum per observationes sensuum et instrumenta physica effici debet, non posse esse perfecte exactam.

  1. In considerando modo, quo haec operatio mensurandi perficitur, iterum apparet quaedam convenientia cum discrepantia inter durationem et extensionem lineae geometricae. Talis longitudo (linea in corpore vel distantia inter duo puncta) mensuratur directe per applicationem mensurae (metri vel eius multiplicis vel partis) ad lineam mensurandam. Haec operatio supponit notitiam cuiusdam proprii extensionis ut talis : duo extensa possunt per contactum ad invicem applicari. Est iterum proprium quoddam extensionis, quod statim intelligitur a nobis, et quidem independenter a primo eius proprio, quod est divisibilitas sive figurabilitas extensi ; insuper intelligimus : ut talis contactus habeatur, requiritur existentia duorum extensorum ; insuper scimus, solam existentiam duorum corporum ad hoc non sufficere, non per se importare contactum ; nam hic contactus potest variari, potest haberi secundum alias et alias partes (cfr. supra VI § 2 B, et insuper ea quae exponebamus relate ad contactum corporum in Cosmol. agentes de « ubi »). Omnia haec pertinent ad « per se intelligibilia ».

Simili modo duae durationes determinatae possunt esse « simul » (totaliter vel partialiter) vel non, et in hoc secundo casu sunt « extra invicem », una post aliam : et hoc intelligitur profluere ut proprium ex ipsa indole huius extensionis fluentis ut talis. In chronometria haec « simultas » vel « simultaneitas », sicut in casu lineae mensurandae, efficitur per applicationem durationis determinatae (quae realizatur in motu horologii, chronometri) et nobis secundum suam quantitatem notae, ad durationem motus mensurandam. Haec est similitudo inter duos hos casus.

  1. Sed adsunt discrimina. Haec simultaneitas durationum in mensuranda duratione alicuius motus obtinetur eo quod nos inchoamus motum chronometri (vel notamus initium eius partis) pro momento in quo incipit motus mensurandus ; deinde ambae durationes intelliguntur simul fluere et esse aequales dum fluunt. Et simili modo agimus in fine motus mensurandi, duae durationes praeteritae erant simul et aequales. Sed in mensuranda linea attendere debemus (et id quasi automatice intelligimus et facimus) ad hoc quod longitudines (mensurae et mensurandae) sese revera tangunt, coincidunt, i. e. non faciunt angulum inter se nec etiam directione opposita differunt. Ad id non est attendendum in mensuranda duratione ; durationes, eo ipso quod simul, in eodem momento, incipiunt, coincidunt nec possunt directione differre. Adde : idem verum est, si tantum in media duratione observatur coincidentia momentanea ; tunc a parte rei adest coincidentia extensionum fluentium tum in praeterito, iam inde ab origine unius saltem motus, tum pro futuro. Haec vera sunt quia « deviatio durationum » est impossibilis. Ita intelligimus duas durationes sese « penetrare », eas esse « simul » (et non parallelas tantum) ; hae intuitiones intellectivae dirigunt nostras operationes quin de his reflexionem explicitam instituamus ; adsunt in actu exercito ; pertinent ad prima per se intelligibilia.

  2. A parte rei, antecedenter ad observationem nostram, cuius est obiectum, solum initium illarum existentiarum, quae vocantur durationes motuum (addimus : et durationes quietis eorum quae moveri possunt) determinat earum relationes in quantum sunt durationes. Omnes quae simul incipiunt, sive sint corporum propinquorum sive distantium ab invicem, sese penetrant, et haec penetratio desinit, et desinit tantum, desinente ipsa existentia fluente una vel altera. Si una talis existentia post aliam incipit, inde ab hoc momento (in existentia priori) sunt simul ; hae relationes unice dependent ab existentiis concretis.

Haec connexa sunt cum alio proprio in quo duratio discrepat a linea geometrica, existentia fluens ab extenso existente statico. Supra iam dictum est, quod ex differentia fundamentali profluit : contactus localis inter corpora existentia variari potest, non est determinatus per solam existentiam illorum extensorum staticorum ; datis existentiis requiritur ulterior determinatio, scil. ipse ille contactus, et hic variari potest ; inde possibilitas motus localis, motus in praedicamento « ubi ». E contra una duratio non potest tangere unam partem alterius durationis, et dein, soluto hoc contactu, tangere aliam partem ; « quod factum est infectum fieri nequit ». In casu durationum contactus irrevocabiliter determinati sunt per sola initia utriusque durationis, non requiritur, immo nec possibilis est ulterior determinatio, determinatio unica est existentia concreta utriusque. Extensio corporis — inde ipsum corpus — potest mutari quoad ordinem ad alias, prius adest ordo A, B, C, dein A, C, B ; tale quid est impossibile in ordine durationum. « Non datur motus in praedicamento “ quando “ », dicunt Aristotelici.

Notio simultaneitatis est notio primitiva. Inde definitione technica definiri non potest ; sed quidem per methodum operativam. Nam perfecte intelligitur, sicut ipsa notio extensionis, ex datis empiricis concretis (in concretione cum multis aliis attributis corporum et eorum motuum) per abstractionem intuitivam formalem. Eodem modo intelliguntur arithmetica, eodem modo ipsa notio extensionis corporum ; etiam haec extensio est notio primitiva, ope aliarum notionum definiri non potest, tamen in medio illorum datorum empiricorum a nobis perfecte intelligitur, et ut intellecta perfectum « sensum » habet ; quisnam esset alius sensus ipsius termini « sensus » ? Tale obiectum retinet suum sensum, etiam si eius quantitas specifica perfecte mensurari non potest, propter defectum observationis nostrae. Et dein huius notionis « extensionis » alia propria (praeter divisibilitatem, additionem et ita porro) simili intuitu statim intelligimus, inter quae propria « exacta », et ita oriuntur aliae notiones primitivae (cfr. pro notione « directionis » supra dicta). Ita se habet quoque notio simultaneitatis.

2. Conclusiones.

Concludendo quaedam proponimus, quae momentum noeticum, etiam in noetica universali, habent.

A) Exactitudo in relationibus chronometricis.

In mensuranda duratione eadem problemata exactitudinis redeunt ac in mensuranda extensione statica. Sub debitis conditionibus intelligere possumus dari durationes perfecte aequales, vel habentes proportiones exacte determinatas, dari quoque simultaneitatem eventuum cum exactitudine perfecta, etiamsi hanc in executione mensurationis attingere non possimus. (Cfr. Cosmologia ed. 4 pagg. 257-259 ; 532-541 ; Filos. d. nat. inorg. pagg. 214-222 ; Acta 2ⁱ congr. thom. Romae 1937 pagg. 367-374).

Haec in primis valorem habent in diiudicanda positione neo-positivistica, etiam in sua ultima evolutione. Plene intelliguntur hae exactitudines quae definiri possunt definitione operativa, quae simul cum exactitudine necessitatem continet, et ideo permittunt experimenta, quae sunt « mentaliter », « conceptualiter », « in principio » possibiles, quae respiciunt ea, quae, ut dicere possumus, mensurari possunt, quamquam nos ea mensurare non possumus.

Indicamus unum experimentum huius generis, quod quoad exactitudinem est tantum mentaliter possibile, et quod est in hac materia fundamentale. Mensurationes durationis fiunt ope horologiorum oscillatoriorum, quorum singulae oscillationes supponuntur eandem habere durationem. Ut iam dictum est, id cum perfecta exactitudine realizari non potest. Hanc mensurationem tamen, etiam in neopositivismo, in methodo operativa, etiam in theoriis, sine scrupulo noetico adhibent. Et iure quidem. Nam talia instrumenta, absolute exacta, sunt « conceptualiter », « in principio » possibilia ; nam ut supra iam dictum est, vere intelliguntur, etiam in sua exactitudine. Sed quid in hac consideratione supponitur, et in neo-positivismo saepe tacite supponitur ? Supponuntur ipsae singulae oscillationes, de se in circumstantiis perfecte aequalibus (et hae de se sunt possibiles) perfecte eandem habere durationem. Supponitur id quod in articulo citato (pag. 21) vocavimus : « principium indifferentiae specificae chronologiae » (et « topographiae »).

B) Specimen particulare analogiae.

Notiones extensionis corporum et durationis successivae sunt igitur inter se analogae, ut ex supra dictis abunde patet. Sed videtur esse analogia sui generis, de quo, in quantum scio, scholastici agere non solent. Ordinarie, si duae notiones sunt analogae, una tantum est conceptus proprius rei cuius est notio, altera est conceptus rei quam repraesentat, non proprius sed analogus tantum.

Hic alius casus adest. Utriusque extensionis, tum staticae tum dynamicae, habemus conceptum proprium, et hi conceptus non perfecte inter se conveniunt, sed partialiter tantum, quamquam uterque conceptus est conceptus primitivus ; conveniunt, nam habent propria communia, et simul hi duo conceptus primitivi inter se differunt, nam habent etiam propria discrepantia ; et uterque est conceptus proprius sui obiecti. Et fundamentalis diversitas haec esse videtur : unus est conceptus obiecti quidditativi, in ordine essentiali, alter autem, conceptus extensionis fluentis, est conceptus (veri nominis conceptus !) in ordine existentiae.

Ceterum similis casus analogiae iam in ipsa extensione permanente invenitur. Recolamus ea, quae supra (III § 2 n. 3) dicebamus de origine notionis nostrae « dimensionum » extensorum, ex processu divisionis extensi nobis dati, scilicet corporis. Haec extensio dividitur per superficiem extensam, quae sua vice dividitur per lineam extensam, cuius divisio ducit ad punctum inextensum, et ita ad finem huius processus. Haec est origo notionum extensionis tridimensionalis, bidimensionalis, unidimensionalis ; et simul ipsius notionis « dimensionis ». Hae notiones omnes et singulae sunt vere primitivae, perfecte determinantur per hunc processum tanquam per definitionem operativam, per quam vere intelliguntur (sensum habent) ut patet ex principiis primis quae de eis affirmamus. Et intelliguntur convenire in quibusdam propriis, quae illis iudiciis primis affirmantur, ut est « extensum est divisibile per figuram » ; sed in hoc ipso intelliguntur quoque ab invicem differre in tribus illis casibus (in casu lineae « figura » est simplex punctum). De singulis his obiectis habemus conceptus proprios, qui ad prima intelligibilia pertinent, qui simul conveniunt et discrepant ; sunt igitur analogi ; et singula obiecta sunt extensa, sed singula suo modo extensa.

C) De chronotopo.

Maior est discrepantia inter notiones extensionis permanentis ex una parte, et notionem extensionis fluentis, durationis, cuius etiam habemus conceptum proprium, ex alia parte ; inter se tres priores conceptus magis conveniunt quam singuli cum conceptu durationis. Non mirandum est : extensio permanens, corporum et limitum corporis, est determinatio in ordine quidditativo, essentiae, extensio fluens e contra est determinatio, actus, in puro ordine existentiae ; prior intelligitur ut quid quidditativi (quod utique existere potest) altera intelligitur ut quid (hoc verbo uti debemus) mere existentiale, sicut « ipsum esse » permanens. Et in hoc intellecto aliquid particulare, nondum a philosophis examinatum, detegere possumus : actus existentialis, fieri fluens (sicut « esse in quiete » alicuius quod moveri potest) potest habere « modum » essendi, vel potius dicendum : « est aliquis modus essendi », qui est analogus determinationi cuidam in ordine quidditativo scilicet quantitati continuae. Applicanda est hic theoria S. Thomae, quae tenet diversitatem « modorum essendi » provenire ex diversitate quidditativa, per quam ipsum « esse » per aliquid aliud determinatur, non sicut potentia per actum, sed sicut actus per potentiam [7].

Haec quae dicuntur de ipsa extensione, valent de eius dimensionibus. Unica dimensio durationis est determinatio in ordine existentiali, dimensiones extensionis corporis, etiam unica dimensio lineae, sunt in ordine quidditativo ; inde magna diversitas inter durationem et lineam, quae supra exposita est. Conceptus dimensionis habet originem intuitivam in processu divisionis extensionum secundum methodum operativam. Dimensio prout in tribus conceptibus extensionis corporum verificatur, videtur esse notio univoca ; sed dimensio dicta de his (etiam de extensione lineari) et de duratione, cognoscitur per conceptus analogos inter se. De « dimensione » valet id quod de « extensione » dicebamus ; in corpore est notio in ordine quidditativo, in duratione in ordine existentiali.

Inde diiudicare possumus conatus (ex primo tempore theoriae relativitatis, necdum ab omnibus derelictos) constituendi extensum reale (universum) quattuor dimensionum, quarum una esset « tempus », ut dimensio omnino aequiparanda cum tribus aliis ; iuxta formulam a Minkowski primo enuntiatam. Si haec constructio ut quid reale describitur, ponitur monstrum metaphysicum. Si tantum ut medium calculi ponitur, ut « repraesentatio graphica », propter analogiam stabilitam admitti poterit ; uti possumus « entibus rationis » cum fundamento in re, ad describendos, et etiam ad calculandos eventus reales. De his cfr. Filos. d. nat. inorg. pagg. 221 sq. et Cosmolog. ed. 4 pag. 259.