Caput IV: Casus Punctorum in Directum Sitorum et Trisectio Anguli (§§ 25–34)

L. Eulerus — Solutio facilis problematum quorumdam geometricorum difficillimorum (Novi Commentarii, Tom. XI, MDCCLXVII, pp. 117–123)

[Folio § 25 | p. 117]

§ 25. Casus quo quatuor puncta in directum sunt sita

Hoc ergo casu (Fig. 7.) cum sit:

\[FH = g; \quad FG = h; \quad GH = f; \quad EF = 2g; \quad EH = 3g \quad \text{et} \quad EG = 2g - h\]
[Folio § 25 (cont.) | p. 118]

erit \(g = f - h\), vnde facta hac substitutione colligimus:

\[R = \frac{4f^4}{(3h - f)^2}; \qquad Q = \frac{3ffh(2f - 3h)}{(f - 3h)^2}; \qquad P = \frac{3h(4f - 3h)^3}{(f - 3h)^2}\]

ideoque \(\frac{QQ}{R} = \frac{9hh(2f - 3h)^2}{4(f - 3h)^2}\). Ex his vero porro elicimus:

\[\begin{split}p &= \frac{(4f - 3h)\sqrt{3h(4f - 3h)}}{f - 3h} \\ q &= \frac{3fh(4f - 3h)(5f - 6h)}{(f - 3h)^2} \\ r &= \frac{3ffh(2f - 3h)(4f - 3h)\sqrt{3h(4f - 3h)}}{(f - 3h)^3}.\end{split}\]

§ 26. Resolutio aequationis cubicae in casu isosceli

Cum iam radices huius aequationis cubicae:

\[z^3 - pzz + qz - r = 0\]

praebeant tria latera \(a, b, c\) trianguli quaesiti, ponamus ad eam concinniorem reddendam

\[z = \frac{y\sqrt{3h(4f - 3h)}}{f - 3h}\]

et prodibit haec aequatio:

\[y^3 - (4f - 3h)yy + f(5f - 6h)y - ff(2f - 3h) = 0\]

cuius radices manifesto sunt \(f, f\), et \(2f - 3h\). Quocirca trianguli quaesiti, quod fit isosceles, latera erunt:

\[a = b = \frac{f\sqrt{3h(4f - 3h)}}{f - 3h}; \qquad \text{et} \qquad c = \frac{(2f - 3h)\sqrt{3h(4f - 3h)}}{f - 3h}.\]

§ 27. Solutio directa trianguli isoscelis

Hic autem casus per se solutu est facilis, cum recta illa, in qua sunt puncta data triangu-

[Folio § 27 (cont.) | p. 119]

lum in duas partes similes necessario secet, ideoque triangulum sit isosceles. Posito autem statim a principio \(b = a\), fit \(\mathcal{A} = \tfrac{1}{4}c\sqrt{4aa - cc}\) et \(AP = AQ = AR = AS = \tfrac{1}{2}c\), tum vero

\[PE = \frac{c^3}{4\mathcal{A}}; \qquad QF = \frac{2\mathcal{A}}{3c}; \qquad RG = \frac{2\mathcal{A}}{2a + c}; \qquad SH = \frac{c(2aa - cc)}{8\mathcal{A}}\]

vnde ob puncta \(P, Q, R, S\) coincidentia in basis puncto medio, quod sit \(O\), interualla inter haec puncta erunt:

\[\begin{split}OF - OE &= \frac{2(aa - cc)}{3\sqrt{4aa - cc}}; \qquad OG - OE = \frac{c(a - c)}{\sqrt{4aa - cc}}; \qquad OH - OE = \frac{aa - cc}{\sqrt{4aa - cc}}; \\ OF - OG &= \frac{(a - c)(2a - c)}{3\sqrt{4aa - cc}}; \qquad OH - OF = \frac{aa - cc}{3\sqrt{4aa - cc}}; \qquad OH - OG = \frac{a(a - c)}{\sqrt{4aa - cc}}.\end{split}\]

§ 28. Dispositio punctorum prout a > c vel a < c

Hic duos casus contemplari conuenit prout fuerit vel \(a > c\) vel \(a < c\), nam si \(a = c\), seu triangulum aequilaterum, omnia quatuor puncta in vnum coalescunt;

I. Si \(a > c\) puncta erunt disposita vti Tab. II. fig. 8. refert, vbi est \(HF = \tfrac{1}{3}EH\) seu \(EF = \tfrac{2}{3}EH\) et \(EG < \tfrac{1}{2}EH\) hocque casu punctum basis medium \(O\) in recta \(HE\) producta vltra \(E\) cadit: vt sit \(OE = \frac{cc}{2\sqrt{4aa - cc}}\).

II. Si \(a < c\), puncta erunt disposita vti fig. 9. refert, vbi est iterum \(HF = \tfrac{1}{3}EH\) seu \(EF = \tfrac{2}{3}EH\) at \(EG > \tfrac{1}{2}EH\). Hoc autem casu punctum basis medium \(O\) in recta \(EH\) producta vltra \(H\) cadit; vt sit

[Folio § 28 (cont.) | p. 120]

\(HO = \frac{2aa - cc}{2\sqrt{4aa - cc}}\), vnde si \(2aa < cc\) punctum \(O\) adeo intra \(H\) et \(E\) cadit.

§ 29. Formulae explicitae per d et e

Datis ergo in recta punctis tribus \(E, G\) et \(H\), ita vt \(G\) intra extrema \(E\) et \(H\) sit situm, videndum est vtrum sit \(EG < \tfrac{1}{2}EH\) an \(EG > \tfrac{1}{2}EH\).

Priori casu quo \(EG < \tfrac{1}{2}EH\) (Tab. II. Fig. 8.) solutio ita se habet. Sit \(EH = 2d\) et \(EG = d - e\), hincque reperitur

\[a = b = \frac{d + e}{2e}\sqrt{(d + 3e)(3d + e)}, \qquad c = \frac{d - e}{2e}\sqrt{(d + 3e)(3d + e)}, \qquad \text{et } OE = \frac{(d - e)^2}{4e}.\]

Posteriori casu \(EG > \tfrac{1}{2}EH\) (Fig. 9.) solutio erit haec: sit \(EH = 2d\) et \(EG = d + e\), hincque colligitur

\[a = b = \frac{d - e}{2e}\sqrt{(d - 3e)(3d - e)}; \qquad c = \frac{d + e}{2e}\sqrt{(d - 3e)(3d - e)} \qquad \text{et } OE = \frac{(d + e)^2}{2e} \text{ [*sic*; lege } 4e\text{]},\]

vnde patet hunc casum locum habere non posse, si \(d\) intra limites \(3e\) et \(\tfrac{1}{3}e\) contineatur. Cum enim esse debet \(2a > c\) necesse est sit \(d > 3e\).

§ 30. Solutio concinnior omisso puncto F

Ex hoc casu colligere licet, etiam in genere (Fig. 5.) solutionem concinniorem esse prodituram, si omisso puncto \(F\) tria puncta \(E, G\) et \(H\) considerentur. Ponamus ergo:

\[EG = e, \qquad GH = f \qquad \text{et} \qquad EH = k\]

eritque \(FH = g = \tfrac{1}{3}k\), \(EF = \tfrac{2}{3}k\) et \(FG = h = \sqrt{\tfrac{1}{3}ee + \tfrac{2}{3}ff - \tfrac{2}{9}kk}\) hincque adipiscimur

\[R = \frac{4f^4}{2ff + 2ee - kk}, \qquad Q = \frac{ff(kk - ff - 2ee)}{2ee + 2ff - kk}\]
[Folio § 30 (cont.) | p. 121]
\[\text{et } P = \frac{27f^4}{2ee + 2ff - kk} + 2ee - 8ff - 3kk = \frac{4e^4 + 11f^4 + 3k^4 - 12eeff + 2ffkk - 8eekk}{2ee + 2ff - kk}\]

tum vero \(\frac{QQ}{R} = \frac{(kk - ff - 2ee)^2}{4(2ee + 2ff - kk)}\), vnde fit

\[p = \sqrt{P}, \qquad q = \frac{2e^4 + f^4 + k^4 - 6eeff - 3eekk + 2ffkk}{2ee + 2ff - kk} \qquad \text{et} \qquad r = Q\sqrt{P}\]

et aequationis \(z^3 - pzz + qz - r = 0\) radices dant latera trianguli quaesiti: quae aequatio posito \(z = y\sqrt{P}\) abit in hanc:

\[y^3 - yy + \frac{(2e^4 + f^4 + k^4 - 6eeff + 3eekk + 2ffkk)y - ff(kk - 2ee - ff)}{4e^4 + 11f^4 + 3k^4 - 12eeff - 8eekk + 2ffkk} = 0 \quad [\text{*sic*; vide notas}].\]

§ 31. Limites quantitatum e, f, k

Hic autem obseruo quantitates has datas \(e, f, k\) non solum ita assumi oportere, vt triangulum constituant, sed quoniam latera trianguli quaesiti \(a, b, c\) tanquam positiua spectari possunt, etiam tam \(P\) quam \(Q\) et \(R\) valores positiuos recipere debent. Non solum ergo esse debet \(kk < 2ee + 2ff\) sed etiam \(kk > 2ee + ff\), tum vero vt \(P\) fiat positiuum, necesse est sit

\[3kk > 4ee + ff + 2\sqrt{e^4 + 11eeff - 8f^4}\]

qua conditione cum illis collata sequitur esse debere

\[ff > \frac{8}{19}ee \qquad \text{et} \qquad ff < \frac{11 + \sqrt{153}}{16}ee \quad \text{seu} \quad ff < \frac{19}{13}ee \quad [\text{*sic*; vide notas}]\]

alioquin problema nullam admitteret solutionem.

§ 32. Exemplum casus ee = ff

Exempl. Sit \(ee = ff\) erit \(R = \frac{4f^4}{4ff - kk}\); \(Q = \frac{ff(kk - 3ff)}{4ff - kk}\) et \(P = \frac{27f^4}{4ff - kk} - 6ff - 3kk = \frac{3(kk - ff)^2}{4ff - kk}\); atque \(\frac{QQ}{R} = \frac{(kk - 3ff)^2}{4(4ff - kk)}\) ideoque \(p = \frac{(kk - ff)\sqrt{3}}{\sqrt{4ff - kk}}\); \(q = \frac{k^4 - ffkk - 3f^4}{4ff - kk}\); et \(r = \frac{ff(kk - 3ff)(kk - ff)\sqrt{3}}{4(4ff - kk)\sqrt{4ff - kk}}\)

[Folio § 32 (cont.) | p. 122]

sit iam \(ee = ff = 2\) et \(kk = 7\); fietque \(p = 5\sqrt{3}\); \(q = 23\), et \(r = 10\sqrt{3}\) et latera trianguli quaesiti erunt radices huius aequationis cubicae \(z^3 - 5zz\sqrt{3} + 23z - 10\sqrt{3} = 0\), quae posito \(z = \frac{y}{\sqrt{3}}\) abit in \(y^3 - 15yy + 69y - 90 = 0\) cuius vna radix est \(y = 6\), vnde binae reliquae sunt \(y = \frac{9 + \sqrt{21}}{2}\) et \(y = \frac{9 - \sqrt{21}}{2}\) sicque trianguli quaesiti latera sunt:

\[a = \frac{3\sqrt{3} + \sqrt{7}}{2}; \qquad b = \frac{3\sqrt{3} - \sqrt{7}}{2}; \qquad c = 2\sqrt{3}.\]

§ 33. Resolutio generalis manente ee = ff

Verum etiam generalius manente \(ee = ff\) quomodocunque accipiatur \(k\), si ponatur \(z = \frac{y}{\sqrt{3(4ff - kk)}}\) habetur haec aequatio resoluenda:

\[y^3 - 3(kk - ff)yy + 3(k^4 - ffkk - 3f^4)y - 9ff(kk - 3ff)(kk - ff) = 0\]

cui primo satisfacit \(y = 3ff\), et duae reliquae radices ex hac aequatione

\[yy - 3(kk - 2ff)y + 3(kk - 3ff)(kk - ff) = 0\]

quae sunt \(y = \frac{3(kk - 2ff) \pm k\sqrt{3(4ff - kk)}}{2}\) sicque tria latera trianguli quaesiti fiunt:

\[a = \frac{(kk - 2ff)\sqrt{3}}{2\sqrt{4ff - kk}} + \frac{1}{2}k, \qquad b = \frac{(kk - 2ff)\sqrt{3}}{2\sqrt{4ff - kk}} - \frac{1}{2}k, \qquad c = \frac{ff\sqrt{3}}{\sqrt{4ff - kk}}.\]
[Folio § 34 | p. 123]

§ 34. Casus irreducibilis et anguli trisectio

Reliquis casibus negotium non tam facile expeditur, quia aequatio cubica factores non admittit. Quod vt exemplo ostendatur sit \(ee = 3\), \(ff = 2\) et \(kk = 9\); vnde trianguli latera sunt radices huius aequationis cubicae \(z^3 - zz\sqrt{71} + 22z - 2\sqrt{71} = 0\); ad quam resoluendam quaeratur angulus \(\alpha\), cuius cosinus sit \(= +\sqrt{\frac{71}{75}}\) [sic; vide notas], qui erit acutus, quo inuento latera trianguli erunt:

\[a = \frac{1}{3}\sqrt{71} + \frac{2}{3}\sqrt{5}\cdot\cos\left(60^\circ - \frac{1}{3}\alpha\right), \quad b = \frac{1}{3}\sqrt{71} + \frac{2}{3}\sqrt{5}\cdot\cos\left(60^\circ + \frac{1}{3}\alpha\right), \quad c = \frac{1}{3}\sqrt{71} - \frac{2}{3}\sqrt{5}\cdot\cos\frac{1}{3}\alpha\]

vbi est proxime \(\alpha = 11^\circ\, 32'\, 13''\) [sic] sicque per anguli trisectionem problema semper satis expedite resoluetur.